题解 P5104 【红包发红包】
老K
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题解
yyf神仙讲了离散性随机变量的期望，实际上这道题是连续性随机变量。
连续性随机变量的期望为\int_{-\infty}^\infty xf(x)\textrm{d}x，其中f(x)为x取值的密度分布函数，满足\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\textrm{d}x=1。
那么总金额w对应的分布函数就是：
f(x)=\begin{cases}\frac{1}{w} & 0\le x\le w\\ 0 & x<0\space or\space x>w\end{cases}
实际上n是没用的，因为n个人来抢并不是n个人会抢完。
其实看了样例猜到期望抢到一半，每次就都是/2就可以A掉这题了（逃）
然而严谨的证明第k个人期望抢到\frac{w}{2^k}：
首先k=1期望抢到\int_0^w\frac{x\textrm{d}x}{w}=\frac{w}{2}。
接下来假如已知k=n-1时成立，则第k个人期望抢到\int_0^w\frac{\frac{x}{2^{n-1}}\textrm{d}x}{w}=\frac{w}{2^{n}}，说明k=n同样成立。
（x指的是第一个人抢到的钱数）