乘法逆元小结

乘法逆元，一般用于求 \frac{a}{b} \pmod p 的值（p 通常为质数），是解决模意义下分数数值的必要手段。

有兴趣可以点进我的博客看看啊qwq

逆元定义

若a*x\equiv1 \pmod {b}，且a与b互质，那么我们就能定义:

所以对于 $\displaystyle\frac{a}{b} \pmod {p}$ ，我们就可以求出 $b$ 在 $\bmod {p}$ 下的逆元，然后乘上 $a$ ，再 $\bmod {p}$，就是这个分数的值了。

求解逆元的方式

拓展欧几里得

这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 \bmod {p} 比较大的时候)。

这个就是利用拓欧求解 线性同余方程 a*x \equiv c \pmod {b} 的c=1的情况。我们就可以转化为解 a*x + b*y = 1 这个方程。

求解这个方程的解。不会拓欧可以点这里~

而且这个做法还有个好处在于，当 a \bot p （互质），但 p 不是质数的时候也可以使用。

代码比较简单：

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元
}

快速幂

这个做法要利用 费马小定理

若p为素数，a为正整数，且a、p互质。 则有a^{p-1} \equiv 1 (\bmod {p})。

这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 1 。

所以我们就可以放入原式，就可以得到：

a*x\equiv 1 \pmod p a*x\equiv a^{p-1} \pmod p x \equiv a^{p-2} \pmod p

所以我们可以用快速幂来算出 a^{p-2} \pmod p的值，这个数就是它的逆元了

代码也很简单：

ll fpm(ll x, ll power, ll mod) {
    x %= mod;
    ll ans = 1;
    for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)
        if(power & 1) (ans *= x) %= mod;
    return ans;
}
int main() {
    ll x = fpm(a, p - 2, p); //x为a在mod p意义下的逆元
}

线性算法

用于求一连串数字对于一个\bmod p的逆元。洛谷P3811

只能用这种方法，别的算法都比这些要求一串要慢。

首先我们有一个,1^{-1}\equiv 1 \pmod p

然后设 p=k*i+r,(1<r<i<p) 也就是 k 是 p / i 的商，r 是余数 。

再将这个式子放到\pmod p意义下就会得到：

k*i+r \equiv 0 \pmod p

然后乘上i^{-1},r^{-1}就可以得到:

k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod p i^{-1}\equiv -k*r^{-1} \pmod p i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1} \pmod p

于是，我们就可以从前面推出当前的逆元了。

代码也很短：

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

阶乘逆元 O(n) 求

因为有如下一个递推关系。

\displaystyle inv[i+1]=\frac{1}{(i+1)!} \displaystyle inv[i+1]*(i+1)=\frac{1}{i!}=inv[i]

所以我们可以求出n!的逆元，然后逆推，就可以求出1...n!所有的逆元了。

递推式为

inv[i+1]*(i+1)=inv[i]

所以我们可以求出 \displaystyle \forall i, i!,\frac{1}{i!} 的取值了。

然后这个也可以导出 \displaystyle \frac{1}{i} \pmod p 的取值，也就是

\displaystyle \frac{1}{i!} \times (i - 1)! = \frac{1}{i} \pmod p

具体实现可以参考我这发提交（卡了常。。）