题解 P4550 【收集邮票】

League丶翎 · 2018-06-02 16:21:11 · 题解

概率题是真的仙

Solution

用f[i]表示现在取到i张邮票,要取完剩下邮票的期望次数 显然f[n]=0 现在已经取得i张邮票,所以下一次取邮票有\frac{i}{n}的概率取到已经有的,期望为\frac{i}{n}*f[i] 有\frac{n-i}{n}的概率取到没有的,期望为\frac{n-i}{n}*f[i+1],这次取邮票的期望为1,所以总期望为:

化简可得:f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}

用g[i]表示现在取到i张邮票,要取完剩下邮票的期望价格 显然g[n]=0 现在已经取得i张邮票,所以下一次取邮票有\frac{i}{n}的概率取到已经有的,期望为\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1),有\frac{n-i}{n}的概率取到没有的,期望为\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)所以总期望为:

化简可得:g[i]=\frac{i}{n-i}*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}

前面的推导貌似很自然的样子,但是为啥g[i]的推导式看着就那么奇怪呢? 那是因为式子的结构表示的是每次都将后面取到的邮票费用+1(总费用+f[i]),再加上自己的费用(+1) 这样就很好理解了

为啥不是f[0]*(f[0]+1)/2*n我也想了很久 因为推导过来每次的贡献是不相同的 比如说所有情况中有1次需要取2张,1次需要取3张,那么总贡献为(3+6)/2=4.5,而期望次数为2.5,显然是不对的...

代码比思考简单多了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n-1;~i;--i) {
        f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
        g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
    }
    printf("%.2lf\n",g[0]);
    return 0;
}