题解 P3802 【小魔女帕琪】

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UDT：2018.9.25

之前写的有不小问题，居然没人提。。

详细一点的说一下

欢迎在博客食用喵~

提一点：放招是不会互相影响的，1-7放招了，2-8还可以放招

首先直接考虑对于取的前7个能量晶体

设N=\sum_{i=1}^7 a_i

考虑前7个一连串取出了a_1,a_2,a_3,..a_7的概率

为\frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6}

因为是条件概率，所以样本空间减少了(n-x)

对条件概率： 简单一点的解释是，B在A发生的条件下发生的概率。

举个栗子，掷色子第一次投6概率为1/6，为A事件，第二次投6概率仍为1/6，为B事件。如果把两次投掷产生的一个结果算成一个最终状态，那么连续的状态AB发生的概率为1/36，也即是B在A发生的条件下发生的概率。

然后我们对取出1-7的式子发现，如果我们不按1-7的顺序取，分子分母并没有变化

那么直接按照排列组合，把所有顺序的全部统计

即7! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6}

但其实后面每七位对应的答案都是这样，下面讲为什么

以上只是提供一个感性的类似的说明方法，和下面的并非直接相关

在考虑之后怎么取之前，我们先想一个问题。

你班要选择投票一个人，在班花喵面前吃巧克力，然后班主任拿了一个盒盒让你们摸球球，里面有1个红球和29个白球（你班30人），抽到红球的人就有了这个至高无上的权利，一个个的去抽，那么顺序不一样的话，是公平的吗？？

当然...是了

第一个人抽中的概率是 \frac {1}{30} 第二个人抽中的概率是 \frac {29}{30} \times \frac {1}{29} 第三个人抽中的概率是 \frac {29}{30} \times \frac {28}{29} \times \frac {1}{28} ...

以上只是提供一个感性的类似的说明方法，和下面的并非直接相关

然后我们考虑用类似的方法把它说清楚

如果第一个取出a_1

我们考虑它取出的合法的第2-8个，就可以再次放招了

概率为

\frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6} \times \frac{a_1-1}{N-7}

同理组合有7!种(这7!是确定了首位而2-8不定的情况)

如果第一个取a_2

概率为

\frac{a_2}{N} \times \frac{a_1}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6} \times \frac{a_2-1}{N-7}

我们把第一个取出的7种可能加在一起

发现末项加起来化简是1

即\sum_{i=1}^7 \frac{a_i-1}{N-7}=1

于是对第2-8位的贡献化简结果就是7! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times \frac{a_7}{N-6}

所以最终答案就是（乘上了N-6项）

7! \times \frac{a_1}{N} \times \frac{a_2}{N-1} \times \frac{a_3}{N-2} \times \frac{a_4}{N-3} \times \frac{a_5}{N-4} \times \frac{a_6}{N-5} \times {a_7}

Code：

#include <cstdio>
double a[8],s,ans=1;
int main()
{
    for(int i=1;i<=7;i++)
    {
        scanf("%lf",a+i);
        s+=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=6;i++)
        ans=ans*a[i]/(s+1-i)*double(i);
    ans=ans*a[7]*7.0;
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}