浅谈 PID 控制算法

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PID 控制算法概念

在我们的生活中可能大家都没有听说过 PID 控制算法，但它可以说是无处不在，小到空调的温度控制、无人机的精准悬停、机器人运作系统，大到飞机和火箭的飞行姿态控制都有 PID 的身影。

PID 控制算法，即比例-积分-微分（Proportional-Integral-Derivative）控制算法，是一种广泛应用于各种自动控制系统中的反馈控制算法。PID 控制器通过计算控制误差的三种成分 —— 比例（P）、积分（I）和微分（D）来调节系统输出，使得系统的输出达到目标值。

PID 控制算法的运行步骤

1 比例控制（P 部分）

这是 PID 中的最简单基本比例控制算法。这个环节产生的分力是：f_p=k_p\times e(t) 我们就拿水桶倒水来介绍 PID 控制算法。设水位目标高度为 1，当前水位为 0.2 米，那么当前时刻的水位和目标水位之间是存在一个误差的 e(t)，且 e(t)=10-2=8 米。如果单纯的用比例控制算法，就是指加入的水位 f_p 和误差 e(t) 是成正比的。假设 kp 取 0.5，那么 t=1 时（表示第 1 次加水，也就是第 1 次对系统施加控制），那么 f_p=0.5\times 0.8=0.4，所以这一次加入的水量会使水位在 0.2 的基础上上升 0.4，达到 0.6。接着，t=2 时（第 2 次施加控制），当前水位是 0.6，所以 e(t) 是 0.4。f_p=0.5\times 0.4=0.2，会使水位再次上升 0.2，达到 0.8。如此这么循环下去，就是比例控制算法的运行方法。可以看到，最终水位会达到我们需要的 1 米。

2 微分控制（D 部分）

从上面我们可以看出来在不断加水的过程中是会产生震荡的，那想要阻止震荡就只能用微分控制了。微分环节也会计算出一个分力，计算方法是：f_d=k_d\times\frac{\mathrm{d}e(t)}{{\rm d}t} 也就是说，这个分力与误差的变化速度有关。假设目标位置不变，水位向上运动时误差减小，即误差变化速度为负，分力向下；反之当水位向下运动时分力向上；综合看来，微分环节产生的分力始终阻碍水位的运动。

因此如果在刚刚的基础上加入微分产生的分力，就会产生一个阻尼效果，水位会仿佛始终受到一个阻力，因此上下摆动的幅度会逐渐减小，最终收敛到目标位置上。

3 积分控制（I 部分）

但现在，我们更希望在水位有一些外部干扰时也能实现上面的效果，比如我们在水桶上有一个洞，这样就要使用积分控制了，它的计算方法是：f_i=k_i\times \int_{}^{} e(t)\, {\rm d}t 也就是说积分环节产生的分力正比于误差的积分，当误差持续存在时，这个分力会逐渐变大，试图消除误差。

加入积分作用，我们的 PID 就能完美实现在有恒力干扰的情况下对水位的控制了

公式

经上面分析可得知：

u(t)=k_p\times e(t)+k_d\times\frac{\mathrm{d}e(t)}{{\rm d}t}+k_i\times \int_{}^{} e(t)\, {\rm d}t

PID 控制算法扩展

PI 算法

公式：

u(t)=k_p\times e(t)+k_i\times \int_{}^{} e(t)\, {\rm d}t

特点：\ PI 控制结合了比例控制和积分控制两个部分。比例控制部分用于减小误差，而积分控制部分则用于消除稳态误差，提高系统的稳态精度。

优缺点：

PD 算法

公式：

u(t)=k_p\times e(t)+k_d\times\frac{\mathrm{d}e(t)}{{\rm d}t}

特点：\ PD 控制体现了微分和比例的性质，而没有积分控制。微分控制通过预测误差变化的趋势，使系统具有超前控制作用，从而增强系统的稳定性和减少最大偏差及余差。

优缺点：

PID 控制算法代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double tl=0.0;  //目标追踪位置
double nl=0.0;  //目标当前位置
float kp,ki,kd;
int main(){
    double ep=0;        //kp误差
    double ei=0;        //ki误差
    double ed=0;        //kd误差
    double edp=0;   //表示e(k-1),上一次的kp误差,用于计算kd误差
    cout<<"请输入目标追踪值"<<endl;
    cin>>tl;
    cout<<"请输入kp"<<endl;
    cin>>kp;
    cout<<"请输入ki"<<endl;
    cin>>ki;
    cout<<"请输入kd"<<endl;
    cin>>kd;
    edp=tl-nl;//整个系统第一次计算kd时、 e(k)-e(k-1)。 
    while(nl!=tl){
        ep=tl-nl;
        ei+=ep;
        ed=ep-edp;
        edp=ep;
        nl+=kp*ep+ki*ei+kd*ed;
        cout<<"当前位置为："<<nl<<"当前的误差为"<<tl-nl<<endl;
    }
}

参考资料

https://blog.csdn.net/name_longming/article/details/115093338

https://www.bilibili.com/video/BV1et4y1i7Gm/

https://blog.csdn.net/ah_yl/article/details/88793274