GCD = XOR

cmwqf · 2018-05-03 23:09:04 · 题解

输入数据组数t，接下来t行每行给定一个数字n，如样例所示

格式输出满足1<=b<=a<=n且gcd(a,b)==a xor b的(a,b)二

元组个数。

思路：

首先，我要说一下xor，即异或的几个性质：

1.若a xor b=c,则a xor c=b;

2.a-b<=a xor b (a>=b)

3.设a=k1c , b=k2c (k1>=k2),则有a-b = (k1-k2)*c; 则a-b>=c;由2.得a-b<=c;

综上得a-b=c;

所以只要枚举a和c,计算b=a-c,则gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c; 再验证是否有c = a xor b即可，时间复杂度为O(nlogn);

最后再累加一下，输出是直接调用ans[n]即可。

注：先枚举c,再枚举a,因为c的个数要少一些。

上代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxN=30000000;
int t,total=0;
int n,ans[maxN+1];
void init()
{
    for(int c=1;c<=(maxN>>1);c++)
            for(int a=c*2;a<=maxN;a+=c)
            {
                int b=a-c;
                if(c==(a^b)) ans[a]++;
            }
    for(int i=2;i<=maxN;i++) ans[i]+=ans[i-1];
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",++total,ans[n]);
    }
    return 0;
}