定义集合 G 的作用于集合 G 的运算符 \times,若满足一下己个性质则称之为一个群({\text{Group}}),记为 (G,\times):
1.封闭性
若满足 a,b \in G,则有 a\times b \in G。
2.结合律
若满足对于任意的 a,b,c 都有 a \times (b \times c) = (a \times b) \times c。
3.单位元
对于所有的 a \in G,都有 e \times a = a \times e = a。
4.逆元
对于所有的 a \in G,都有 a^{-1} \times a = 1。
1.2.群的简单性质
一个群的单位元唯一。
如果 a \times x_1 = e,那么我们说 x_1 为 a 的右逆元,x_2 \times a = e,那么我们说 x_2 是 a 的左逆元。那么左逆元等于逆元。
一个群中 x 的逆元为 1。
群中有消去律存在。
1.3.子群和其衍生
1.3.1.定义
子群: 对于一个群 G(S,\times),若有 T \subseteq S,并且 H(T,\times) 也是一个群,那么我们称之为 H 是 G 的子群,记作 H \le G。
生成子群: 对于 S 的一个子集 T,我们求出所有的 G 的所有使 T \subseteq T^` 的子群 (T^`,\times) 的交 G^`,我们称 G^` 为 T 的生成子群,同时 T 也是 G^` 的生成集合,记作 \langle T\rangle,当 T = \{x\} 时,也记作 \langle x\rangle。
循环群:可由一个元素生成的群。
陪集:对于一个群 G 的子群 H。
如果 H \le G,对于 a \in G,定义 H 的一个左陪集 为 _aH=\{ah \mid h\in H\}
如果 H \le G,对于 a \in G,定义 H 的一个右陪集 为 H_a=\{ha \mid h\in H\}
注意陪集不一定是一个群,因为陪集显然可能没有单位元。
1.3.2.陪集的性质
这是一些有关于陪集的性质,这里只讨论右陪集。
1.3.3.拉格朗日定理
若 H \le G,那么有:
|G| = |H| \times [G : H]
其中 [G : H] 表示 G 中 H 不同的陪集个数。
2.置换群
2.1.置换的定义
集合到自己的映射,也就是双射,我们称之为置换。比如不可重集合 S = \{a_1,a_2,a_3,a_4 ,\cdots \cdots,a_n\} 上的置换为: