前置技能

• 字典树
• KMP匹配

简介

看dalao们AC自动机的Blog，大多数奆奆都会感性地说： AC_automation = KMP+TRIE<!--more--> 然而在作者重蹈覆辙辗转反侧n次后才明白，这东西说了等于没说。

• AC自动机是一种有限状态自动机（说了等于没说），它常被用于多模式串的字符串匹配。
• 在学完AC自动机，笔者也总结出一句说了等于没说的话： AC自动机是以TRIE的结构为基础，结合KMP的思想建立的。

建立AC自动机

建立一个AC自动机通常需要两个步骤：

• 基础的TRIE结构：将所有的模式串构成一棵Trie。
• KMP的思想：对Trie树上所有的结点构造失配指针。

然后就可以利用它进行多模式匹配了。

TRIE构建

• 和trie的insert操作一模一样（强调！一模一样！）
• 因为我们只利用TRIE的结构，所以只需将模式串存入即可。

构造失配（fail）指针

在讲构造以前，先来对比一下这里的fail指针与KMP中的next指针：

• 共同点-两者同样是在失配的时候用于跳转的指针。
• 不同点-KMP要求的是最长相同真前后缀，而AC自动机只需要相同后缀即可。
  • 因为KMP只对一个模式串做匹配，而AC自动机要对多个模式串做匹配。
  • 有可能fail指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。
  • 也就是说，AC自动机在对匹配串做逐位匹配时，同一位上可能匹配多个模式串。
  • 因此fail指针会在字典树上的结点来回穿梭，而不像KMP在线性结构上跳转。

下面介绍构建fail指针的基础思想：（强调！基础思想！基础！）

• 构建fail指针，可以参考KMP中构造next数组的思想。
• 我们利用部分已经求出fail指针的结点推导出当前结点的fail指针。具体我们用BFS实现：
  • 考虑字典树中当前的节点u，u的父节点是p，p通过字符c的边指向u。
  • 假设深度小于u的所有节点的fail指针都已求得。那么p的fail指针显然也已求得。
  • 我们跳转到p的fail指针指向的结点fail[p]；
    • 如果结点fail[p]通过字母c连接到的子结点w存在：
      • 则让u的fail指针指向这个结点w（fail[u]=w）。
      • 相当于在p和fail[p]后面加一个字符c，就构成了fail[u]。
    • 如果fail[p]通过字母c连接到的子结点w不存在：
      • 那么我们继续找到fail[fail[p]]指针指向的结点，重复上述判断过程，一直跳fail指针直到根节点。
      • 如果真的没有，就令fail[u]=根节点。
• 如此即完成了fail指针的构建。

下面放一张GIF帮助大家理解： 对字典树{i,he,his,she,hers}构建fail指针：

• 黄色结点表示当前的结点u，绿色结点表示已经BFS遍历完毕的结点，红/橙色的边表示fail指针。

• 2号节点的fail指针画错了，fail[2]=0.

• 我们重点分析结点6的fail指针构建：

• 找到6的父节点5，5的fail指针指向10，然而10结点没有字母's'连出的边；

• 所以跳到10的fail指针指向的结点0，发现0结点有字母's'连出的边，指向7结点；

• 所以fail[6]=7.

另外，在构建fail指针的同时，我们也对TRIE中模式串的结尾构建fail指针。这样在匹配到结尾后能自动跳转到下一个匹配项。具体见代码实现。

从代码深入剖析

框架

const int N=1000;
struct AC_automaton{
    int tr[N][26],cnt;//TRIE
    int e[N];//标记这个结点是不是字符串结尾
    int fail[N];//fail指针

    void insert(char * s){}//插入模式串
    void build(){}//构建fail指针
    int query(char *t){}//匹配函数
};
AC_automation ac;
}

字典树与字典图

• 关于insert()笔者不做分析，先来看build():

  void build(){
  queue<int>q;
  memset(fail,0,sizeof(fail));
  for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);//Q1
  while(!q.empty()){
      int k=q.front();q.pop();
      for(int i=0;i<26;i++){
          if(tr[k][i]){
              fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//Q2
              q.push(tr[k][i]);
          }
          else tr[k][i]=tr[fail[k]][i];//Q3
      }
  }
  }

  首先声明了一个队列用于BFS，并清空fail数组。

这里的字典树根节点为0，我们将根节点的子节点一一入队。

• Q1-等等，为什么不将根节点入队，非要将它的子节点入队？

然后开始BFS：

• 每次取出队首的结点k。注意，结点k本身的fail指针已经求得，我们要求的是k的子节点们的fail指针。
• 然后遍历字符集（这里是0-25，对应a-z）：
  • 如果字符i对应的子节点存在，我们就将这个子节点的fail​指针赋值为fail[k]的字符i对应的结点。
  • Q2-不是应该用while循环，不停的跳fail指针，判断是否存在字符i对应的结点，然后赋值吗？怎么一句话就完了？
  • 否则，k结点没有字符i对应的子节点，就将fail[k]的字符i对应的子节点编号赋值给k
  • Q3-等等，说好的字典树呢？怎么将fail[k]的子节点直接赋成k的子节点去了？

这三个Questions构成了fail指针构建的精髓。

Q1

• 若将根节点入队，则在第一次BFS的时候，会将根节点的子节点的fail指针标记为本身。
• 而将根节点的子节点入队，也不影响算法正确性（因为fail指针初始化为0）

Q2&Q3

• Q2与Q3的代码是相辅相成的。

• 简单地来讲，我们将fail指针跳转的路径做了压缩（就像并查集的路径压缩），使得本来需要跳很多次fail指针变成跳一次。

• 而这个路径压缩的就是Q3的代码在做的事情之一。

• 我们将之前的GIF图改一下：

• 蓝色结点表示BFS遍历到的结点k，深蓝色、黑色的边表示执行完Q3代码连出的字典树的边。

• 可以发现，众多交错的黑色边将字典树变成了字典图。

• 图中省略了连向根节点的黑边（否则会更乱）。

• 我们重点分析一下结点5遍历时的情况：

• 显然，本来应该跳2次才能找到7号结点，但是我们通过10号结点的黑色边直接通过字母s找到了7号结点。

• 因此，Q2结合了Q3的代码，就能在O(1)的时间内对单个结点构造fail指针。

这就是build完成的两件事：构建fail指针和建立字典图。这个字典图也会在查询的时候起到关键作用。

多模式匹配

• 接下来分析匹配函数query():

  int query(char *t){
  int p=0,res=0;
  for(int i=0;t[i];i++){
      p=tr[p][t[i]-'a'];//Q
      for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1;
  }
  return res;
  }

• 声明p作为字典树上当前匹配到的结点，res即返回的答案
• 循环遍历匹配串，p在字典树上跟踪当前字符。
• 利用fail指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清0。
• 对e[j]取反的操作用来判断e[j]是否等于-1。
• Q-读者可能纳闷了：你这里的p一直在往字典树后面走，没有跳fail指针啊！这和KMP的思想不一样啊，怎么匹配得出来啊

Answer to Q

• 还记得刚才的字典图吗？事实上你并不是一直在往后跳，而是在图上穿梭跳动。比如，刚才的字典图：

• 我们从根节点开始尝试匹配ushersheishis，那么p的变化将是：

• 红色结点表示p结点，粉色箭头表示p在字典图上的跳转，浅蓝色的边表示成功匹配的模式串，深蓝色的结点表示跳fail指针时的结点。

• 其中的部分跳转，我们利用的就是新构建的字典图上的边，它也满足后缀相同（sher和her），所以自动跳转到下一个位置。

• 综上，fail指针的意义是，在匹配串同一个位置失配时的跳转指针，这样就利用fail指针在同一位置上进行多模式匹配，匹配完了，就在字典图上自动跳转到下一位置。

总结

到此，你已经理解了整个AC自动机的内容。我们一句话总结AC自动机的运行原理： 构建字典图实现自动跳转，构建失配指针实现多模式匹配。

代码

const int N=1000;
struct AC_automaton{
    int tr[N][26],cnt;//TRIE
    int e[N];//标记字符串结尾
    int fail[N];//fail指针

    void insert(char * s){//插入模式串
        int p=0;
        for(int i=0;s[i];i++){
            int k=s[i]-'a';
            if(!tr[p][k])tr[p][k]=++cnt;
            p=tr[p][k];
        }
        e[p]++;
    }
    void build(){
        queue<int>q;
        memset(fail,0,sizeof(fail));
        for(int i=0;i<26;i++)if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
            //首字符入队
            //不直接将0入队是为了避免指向自己
        while(!q.empty()){
            int k=q.front();q.pop();//当前结点
            for(int i=0;i<26;i++){
                if(tr[k][i]){
                    fail[tr[k][i]]=tr[fail[k]][i];//构建当前的fail指针
                    q.push(tr[k][i]);//入队
                }
                else tr[k][i]=tr[fail[k]][i];
                    //匹配到空字符，则索引到父节点fail指针对应的字符，以供后续指针的构建
                    //类似并差集的路径压缩，把不存在的tr[k][i]全部指向tr[fail[k]][i]
                    //这句话在后面匹配主串的时候也能帮助跳转
            }
        }
    }
    int query(char *t){
        int p=0,res=0;
        for(int i=0;t[i];i++){
            p=tr[p][t[i]-'a'];
            for(int j=p;j&&~e[j];j=fail[j])res+=e[j],e[j]=-1;
        }
        return res;
    }
};
AC_automation ac;