欧拉公式
jackwahaha
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算法·理论
求证欧拉公式 {e^{i\pi}+1=0}
证明过程
泰勒级数
将函数 f(x) 转化为 f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\cdots。即：
\displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_j(x-a)^j}
求 a_n：
\because \displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_j(x-a)^j}
=\sum_{j=n}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{n-1}(j-k)\right)\cdot a_j(x-a)^{j-n}}
假设 x=a，则有：
\frac {f^{(n)}(x)} {n!}=a_n
代入：
\displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}(\frac {f^{(j)}(a)} {j!})(x-a)^j}
上述公式就是泰勒级数公式。
麦克劳林级数
麦克劳林级数是 a=0 的泰勒级数。
当 a=0 时：
\displaystyle{f(x)=\sum_{j=0}^{\infty}(\frac {f^{(j)}(0)} {j!})x^j}
特殊函数的级数
-
f(x)=e^x
-
f(x)=\sin(x)
-
f(x)=\cos(x)
计算得：
f(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^n} {n!}\ \text{,}\ x\in(-\infty,+\infty)
f(x)=\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}{\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}}\ \text{,}\ x\in(-\infty,+\infty)
f(x)=\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}\frac {x^{2n}} {(2n)!}\ \text{,}\ x\in(-\infty,+\infty)
加参数
注：这里的 i 表示虚数单位。
令 f(x)=e^{ix}，则级数为：
f(x)=e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(ix)^n} {n!}
\because i^2=-1
\therefore f(x)=e^{ix}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}\frac {x^{2n}} {(2n)!}\right)+i\left(\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n}{\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}}\right)
\therefore e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
计算
众所周知：\cos(\pi)=-1 ， \sin(\pi)=0 。
将 x=\pi 代入 e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)，得：
e^{i\pi}=-1+0=-1
则：
e^{i\pi}+1=-1+1=0
综上所述
\boxed{e^{i\pi}+1=0}