CF1705E Mark and Professor Koro 题解

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题目大意

黑板上有 n 个数字 a_1,a_2,\dots,a_n，现在你可以将黑板上相同的两个数字 x 擦掉，然后写上 x+1，求最后能得到的最大数字。
当然你需要支持单点修改。

题目解析

不难发现题目给定的操作比较像二进制加法。如果把所有能够合并的数字都合并，那么每个数字最多出现一次，如果出现了数字 x 那么就说明二进制下从右往左第 x 位是 1，否则是 0。
考虑修改其实就是删去一个数字，然后加上一个数字。如果说把 a_x 改为 y，也就是减去 2^{a_x}，加上 2^{y}。
这样也就是维护一个大整数。

考虑加上一个数字，如果这一位是 0，直接把这一位改成 1，否则找到更高位出现的第一个 0，把这个 0 改成 1，然后把这一段 1 改成 0。
删除其实是一样的。如果这一位是 1，就把这一位改成 0，否则找到更高位的第一个 1，改成 0，然后把连续的 1 改成 0。

也就是说需要维护一个数据结构支持区间修改，查询一个点右边第一个 0/1，并且能查询最高位的 1。
用线段树+线段树二分维护就可以了，维护区间最小值和最大值以及区间覆盖的懒惰标记即可。

最后注意答案可能超过 2\times 10^5，数组要开大一点。

时间复杂度 O(T\log n)

int n,T,x,y,tmp,a[maxn],t[maxn],minx[maxn<<2],maxx[maxn<<2],f[maxn<<2],L,R,C;
void up(int rt){
    minx[rt]=mmin(minx[rt<<1],minx[rt<<1|1]);
    maxx[rt]=mmax(maxx[rt<<1],maxx[rt<<1|1]);
    return;
}
void down(int rt){
    if(f[rt]!=-1){
        minx[rt<<1]=maxx[rt<<1]=f[rt<<1]=f[rt];
        minx[rt<<1|1]=maxx[rt<<1|1]=f[rt<<1|1]=f[rt];
        f[rt]=-1;
    } return;
}
void build(int l,int r,int rt){
    f[rt]=-1; if(l==r){ maxx[rt]=minx[rt]=t[l]; return; } int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,rt<<1); build(mid+1,r,rt<<1|1); up(rt); return;
}
void update(int l,int r,int rt){
    if(L<=l&&r<=R){ minx[rt]=maxx[rt]=f[rt]=C; return; } int mid=(l+r)>>1; down(rt);
    if(mid>=L) update(l,mid,rt<<1); if(mid<R) update(mid+1,r,rt<<1|1); up(rt); return;
}
int query1(int l,int r,int rt){
    if(maxx[rt]==0) return INF;
    if(l==r) return l; int mid=(l+r)>>1; down(rt);
    if(mid>=L&&maxx[rt<<1]){
        int tmp=query1(l,mid,rt<<1);
        if(tmp!=INF) return tmp;
    } return query1(mid+1,r,rt<<1|1);
}
int query0(int l,int r,int rt){
    if(minx[rt]) return INF;
    if(l==r) return l; int mid=(l+r)>>1; down(rt);
    if(mid>=L&&!minx[rt<<1]){
        int tmp=query0(l,mid,rt<<1);
        if(tmp!=INF) return tmp;
    } return query0(mid+1,r,rt<<1|1);
}
int findans(int l,int r,int rt){
    if(!maxx[rt]) return -1;
    if(l==r) return l; int mid=(l+r)>>1; down(rt);
    if(maxx[rt<<1|1]) return findans(mid+1,r,rt<<1|1);
    else return findans(l,mid,rt<<1);
}
int main(){
    n=read(); T=read(); int i; for(i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),t[a[i]]++;
    for(i=1;i<=N;i++) t[i+1]+=t[i]/2,t[i]&=1; build(1,N,1);
    while(T--){
        x=read(); y=read();
        L=a[x]; tmp=query1(1,N,1); L=R=tmp; C=0; update(1,N,1);
        if(tmp>a[x]){ L=a[x]; R=tmp-1; C=1; update(1,N,1); }
        L=y; tmp=query0(1,N,1); L=R=tmp; C=1; update(1,N,1);
        if(tmp>y){ L=y; R=tmp-1; C=0; update(1,N,1); }
        a[x]=y; print(findans(1,N,1)),pc('\n');
    } return 0;
}