题解 UVA1118 【Binary Stirling Numbers】

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本题为 SP106 的双倍经验。

题意：给定 T 组 (n,m)，求 S(n,m)，S 是第二类斯特林数。

如果你不知道第二类斯特林数是啥，可以看看百度：（经过一些修改）

第二类斯特林数实际上是集合的一个拆分，表示将 n 个不同的元素拆分成 m 个集合的方案数，记为 S(n,m) 或者 \begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}。

看到下面的递推式：S(n+1,m)=S(n,m-1)+m\times S(n,m)。

我们对其进行一些变形：

\begin{aligned} S(n+1,m)=&S(n,m-1)+m\times S(n,m)&\\ S(n,m)=&S(n-1,m-1)+m\times S(n-1,m)&\\ S(n,m)\equiv&\begin{cases}S(n-1,m-1),&m\mod 2=0\\S(n-1,m-1)+S(n-1,m),&\operatorname{otherwise}\end{cases}&\pmod{2} \end{aligned}

就可以根据上面的表达式大致画出一个转移图：

图中对于一个点 (n,m)，从 (0,0) 经过蓝边（向右）和粉边（向右上）到达 (n,m) 的路径条数即为 S(n,m)，注意黑边不能经过，蓝边和粉边只能单向经过。因此 S(n,m)\mod 2 就等于路径条数对二取模的余数。

路径条数怎么算呢？我们根据 0\sim m 之间的蓝色边条数来分类讨论，运用一些数学计算就可以得到，发现路径条数的奇偶性与 \frac{m+1}{2} 有关（因为蓝边数量仅与 m 相关）。最后就可以得到结论：

S(n,m)\mod 2=\begin{cases}1,&\left(n=m=0\right)\lor\left(\left(\frac{m+1}{2}-1\right)\operatorname{and}\left(n-m+\frac{m+1}{2}-1\right)=\frac{m+1}{2}-1\right)\\0,&\operatorname{otherwise}\end{cases}

这里我们特判一下几个特殊情况，就可以得到最终结论。

代码：

//By: Luogu@rui_er(122461)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define f(a,b) (\
(a & b) == a\
)

int T, n, m; 

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if(!n && !m) {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(!n || !m || n < m) {
            puts("0");
            continue;
        }
        int a = (m + 1) / 2 - 1;
        printf("%d\n", f(a, n-m+a));
    }
    return 0;
}