题解 AT5799 【[AGC043B] 123 Triangle】

AGC043B

赛时做法：

手玩样例 + 合理推理之后，不难发现，k>1 的时候就一定不存在 3 了。也就是说，除了 N=1 的情况，答案只能在 0,1,2 三个数中产生。

那么问题来了：怎么判断是谁呢？

冷静分析之后，我们发现，如果不直接计算出最后是谁，而是排除最后一定不是谁，就能从另一个角度知道结果了。

然后再想想，如果 \exists x \in[1, N - 1], f(2,x)=1，则不难发现最后结果一定只能是 0 或者 1。考虑 0 和 2 只要碰到 1 就会变成 1，也就是说，只要 1 旁边存在 0 或者 2， 1 就一定会存在。所以，只要不是到了某一层全是 1 的情况，1 就一定会存在。所以 2 就一定不能撑到第 N 层。

然后这时候我们就只需要判定答案是 1 还是 0 了。也就是，我们只需要断定答案的奇偶性就可以了。

不难发现，模 2 意义下，减法等价于加法（单指运算结果）。则可以将原递推式变为：

不难发现是类似组合数递推的，只不过转移方向反过来而已。利用组合数可以得到：

利用 Lucas 定理，就能 O(\log n) 快速求解了。

当然，对于 \bmod\ 2 意义下，有 \binom{n}{m} \equiv[n\ \mathrm{and}\ m=m] \pmod2。利用这个可以 O(1) 求这个题要求的组合数。

然后再考虑没有 1 的情况：这时候这层中仅可能有 0 和 2。在 \bmod\ 4 意义下，此时的减法也等价于加法。不妨将 a_i 除掉一个 2 之后，用求解 0 和 1 的方法来求解 0 和 2，这样就解决了这个题了。

char s[1000010];

inline int C(int n, int m) { return (n & m) == m; }

int main() {
    int n;
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    if(n == 1) putchar(s[1]), puts("");
    else {
        --n;
        int find1 = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            s[j] = abs(s[j] - s[j + 1]), find1 |= s[j] == 1;
        if(!find1) for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] >>= 1;
        find1 ^= 1;
        int t = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++) t ^= C(n - 1, j - 1) * (s[j] & 1);
        cout << (int(t) << find1) << endl;
    }
    return 0;
}