题解 P2605 【[ZJOI2010]基站选址】
Solution DP + 线段树优化
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记
f[i][j] 表示在第i 个村庄修建第j 个基站且不考虑第i + 1 ~n 个村庄所需的最小费用。 -
则转移方程为
f[i][j] = Min(f[k][j - 1] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 \le k < i) 。其中cst[k][i] 表示第i ~k 个村庄之间没有被基站i, k 覆盖的村庄所需的赔偿费用，计算费用的复杂度为O(n) ，则总复杂度为O(n^2k) 。 -
这样显然是不能通过的，我们考虑如何优化：
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首先我们发现之前的转移方程可以去掉一维
j ，实际上只要在最外层枚举j 就可以了，也就是f[i] = Min(f[k] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 \le k < i) 。 -
而主要的消耗在计算
cst[k][i] 上，也就是有多少个村庄需要赔偿。 -
对于任意一个村庄
i ，记它所能被覆盖的左右边界st[i], ed[i] （最左端、最右端可以覆盖到i 的基站位置，可用二分查找处理），然后在用邻接表记录ed 值为i 的村庄有哪些，在这些村庄之前建立基站就覆盖不到i 了。 -
这样当我们推导
i + 1 时，若从村庄1 ~st[k] - 1(ed[k] = i) 转移过来则必定要赔偿村庄k 的费用，我们就可以考虑用线段树来维护f[k] + cst[k][i] 的值，即在区间[1, st[k] - 1] 加上村庄k 的费用，而转移即在区间[1, i - 1] 找f[k] + cst[k][i] 的最小值，总复杂度为O(nlogn \times k) 。
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define sL (s << 1)
#define sR (s << 1 | 1)
using namespace std;
const int Maxn = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e4 + 5, M = N << 2;
int d[N], c[N], w[N], s[N], st[N], ed[N], f[N];
int n, k, Ans, val[M], tag[M];
struct point
{
int to; point *nxt;
}a[M], *T = a, *lst[N];
inline void addEdge(const int &x, const int &y) {T->nxt = lst[x]; T->to = y; lst[x] = T++;}
template <class T> inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b? a : b;}
template <class T> inline void CkMin(T &a, const T &b) {if (a > b) a = b;}
inline int get()
{
char ch; bool f = false; int res = 0;
while (((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') && ch != '-');
if (ch == '-') f = true;
else res = ch - '0';
while ((ch = getchar()) >='0' && ch <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0';
return f? ~res + 1 : res;
}
inline void put(int x)
{
if (x < 0)
x = ~x + 1, putchar('-');
if (x > 9) put(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}
inline void Push(const int &s) {val[s] = Min(val[sL], val[sR]);}
inline void Add(const int &s, const int &z)
{val[s] += z; tag[s] += z;}
inline void Down(const int &s)
{
if (!tag[s]) return ;
Add(sL, tag[s]); Add(sR, tag[s]); tag[s] = 0;
}
inline void Build(const int &s, const int &l, const int &r)
{
tag[s] = 0;
if (l == r) return (void)(val[s] = f[l]);
int mid = l + r >> 1;
Build(sL, l, mid); Build(sR, mid + 1, r);
Push(s);
}
inline int Query(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y)
{
if (l == x && r == y) return val[s];
Down(s); int mid = l + r >> 1;
if (y <= mid) return Query(sL, l, mid, x, y);
else if (x > mid) return Query(sR, mid + 1, r, x, y);
else return Min(Query(sL, l, mid, x, mid),
Query(sR, mid + 1, r, mid + 1, y));
}
inline void Modify(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y, const int &z)
{
if (l == x && r == y) return Add(s, z);
Down(s); int mid = l + r >> 1;
if (y <= mid) Modify(sL, l, mid, x, y, z);
else if (x > mid) Modify(sR, mid + 1, r, x, y, z);
else
{
Modify(sL, l, mid, x, mid, z);
Modify(sR, mid + 1, r, mid + 1, y, z);
}
Push(s);
}
int main()
{
n = get(); k = get() + 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) d[i] = get();
for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = get();
for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = get();
for (int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = get();
++n; d[n] = w[n] = Maxn;
//当我们推导i时，我们只考虑了它和前面的基站产生的影响
//这时对于最后一个基站我们不会考虑它和之后的村庄产生的影响
//则我们可以在最后增加一个村庄
//保证它必定被作为基站（无建设费用）且不对前面产生影响
//这样就不会有遗漏的了
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
st[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] - s[i]) - d;
ed[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] + s[i]) - d;
if (d[ed[i]] > d[i] + s[i]) ed[i]--; addEdge(ed[i], i);
//lower_bound查找的是大于等于x的第一个数
//而ed[i]要求的是小于等于x的最后一个数
//所以判断一下减一就可以了
}
for (int i = 1; i <= k; ++i)
if (i == 1)
{
int res = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
f[j] = res + c[j];
for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)
res += w[e->to];
}
Ans = f[n];
}
else
{
Build(1, 1, n); int y;
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
//注意线段树区间的边界条件
f[j] = (j > i - 1 ? Query(1, 1, n, i - 1, j - 1) : 0) + c[j];
for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)
if (st[y = e->to] > 1) Modify(1, 1, n, 1, st[y] - 1, w[y]);
//这里其实只要修改区间[i, st[y] - 1]就行了
//不过询问/修改的区间长对于线段树其实更快
}
CkMin(Ans, f[n]);
}
return put(Ans), 0;
}