数分从入门到退役（定理与定义集）

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前言

这是本文第一次申请全站推荐，希望能过。
笼统地涵盖了大部分一元微积分内容。（没有级数与微分方程）
只有定理与定义，可以当字典用。
我对多元微积分的理解程度只与大部分 PhOer 差不多，便未记过笔记。
后面可能会更新。

函数极限

什么？实数完备性？数列极限？
不可能写的！（其实是我懒）

一、定义

1. 函数极限

设函数在 (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta) 内有定义，其中 \delta>0 ,如果存在实数 A，使得对任意的 \varepsilon>0，都存在正实数 t，满足对 \forall x\in(x_0-t,x_0)\cup(x_0,x_0+t)，有 |f(x)-A|<\varepsilon 成立，则称当 x 趋近于 x_0 时，f(x) 的极限为 A ,记作 \displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A。
我们称 (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta) 为 x_0 处的去心邻域，记作 U_0(x_0,\delta)。
需要注意的是，不需要 f(x) 在 x_0 处有定义，就可以定义 \displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}。

特点： 1) \displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)} 与 f(x_0) 无关。 2) 我们熟知的基本初等函数，大部分都连续。

2. 右极限

设函数在 (x_0,x_0+\delta) 内有定义，其中 \delta>0 ,如果存在实数 A，使得对任意的 \varepsilon>0，都存在正实数 t，满足对任意的 x\in(x_0,x_0+t)，有 |f(x)-A|<\varepsilon 成立，则称当 x 趋近于 x_0 时，f (x) 的右极限为 A ,记作 \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=A 或 f(x_0+0)=A。

3. 左极限

设函数在 (x_0-\delta,x_0) 内有定义，其中 \delta>0 ,如果存在实数 A，使得对任意的 \varepsilon>0，都存在正实数 t，满足对任意的 x\in(x_0-t,x_0)，有 |f(x)-A|<\varepsilon 成立，则称当 x 趋近于 x_0 时，f(x) 的左极限为 A ,记作 \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=A 或 f(x_0-0)=A。

定理：设 f(x) 在 U_0(x_0) 上有定义，则存在 \displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A 的充要条件为：

### 4. 趋于正无穷的函数极限 设函数在 $(u,+\infty)$ 内有定义，如果存在实数 $A$，使得对任意的 $\varepsilon>0$，都存在实数 $t>u$，满足对任意的 $x>t$，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称**当 $x$ 趋近于 $+\infty$ 时，$f (x)$ 的极限存在且等于 $A$** ,记作 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=A$ 或 $f(x)\to A,x\to+\infty$。 ### 5. 趋于负无穷的函数极限 设函数在 $(-\infty,u)$ 内有定义，如果存在实数 $A$，使得对任意的 $\varepsilon>0$，都存在实数 $t<u$，满足对任意的 $x<t$，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，则称**当 $x$ 趋近于 $-\infty$ 时，$f (x)$ 的极限存在且等于 $A$** ,记作 $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=A$ 或 $f(x)\to A,x\to-\infty$。 ## 二、定理 ### 1. Heine 归结原理 设 $x_0,\delta,A\in \mathbb{R}$, 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$ 有定义，如果对任何满足 $x_n\to x_0$ 的序列 $\{x_n\}\subset U_0(x_0,\delta)$，都有 $f(x_n)\to A$，则称 $x\to x_0$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为 $A$。 ## 三、性质 1. 如果 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}$ 存在，则该极限值是唯一的。 2. 设 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A$，$\displaystyle\lim_{x\to x_0}{g(x)}=B$ ,如果存在 $\delta>0$,，使得当 $x\in U_0(x,\delta)$ 时 $f(x)\le g(x)$，则 $A\le B$ 。 3. 函数极限具有四则运算。 4. 夹逼原理 (同数列极限)。 5. Cauchy 收敛准则： 函数 $f$ 在点 $a$ 有极限的充要条件是：对每一个给定的 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$, 使得对于在 $O_\delta(a)-\{a\}$ 中的每一对点 $x',x''$ 满足不等式 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ 。 # 连续性 ## 一、定义 ### 1. 连续 设函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta_0)(\delta>0)$ 内有定义，若 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ **连续**，并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个**连续点**；否则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 间断（或不连续），并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个**间断点**（或不连续点）。 ### 2. 左右连续 若 $f(x)$ 在 $U^+(x_0,\delta_0)$ 上有定义，且 $f(x_0+0)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处右连续。 若 $f(x)$ 在 $U^-(x_0,\delta_0)$ 上有定义，且 $f(x_0-0)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连续。 ### 3. 区间内连续 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内有定义， 若对任意的 $x\in(a,b)$，$f(x)$ 在点 $x$ 处连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，此时记为 $f(x)\in C(a,b)$。 若 $f(x)\in C(a,b)$，而且 $f(x)$ 在 $a$ 右连续，在 $b$ 左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内连续，此时记为 $f(x)\in C[a,b]$。 ### 4. 间断点 如果 $f(x)$ 在点 $x_0$ 间断： 1) 若 $f(x_0+0)$ 和 $f(x_0-0)$ 都存在，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的**第一类间断点**，此时若左极限等于右极限，**可去间断点**；否则称其为**跳跃间断点**。 2) 否则为**第二类间断点**。 ## 二、定理 ### 1. 关于函数嵌套 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则有 $$ \displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)=f(\displaystyle\lim_{x\to x_0}{x}) $$ ### 2 .极限的等价定义 $w_f(a,\delta)\triangleq\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\}(x\in U(a,\delta)) w_f(a)\triangleq\displaystyle\lim_{\delta\to0^+}{w_f(a,\delta)}

于是 f(x) 在 a 处连续 \iff w_f(a)=0。

3. 保号性

### 4. 有界性 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，使得 $f$ 在该邻域上有界。 ### 5. 复合函数的连续性 设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 处连续。 #### 6. 反函数的连续性 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上的严格单调的连续函数，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在区间 $J=R(f)$ 上是连续的。 ### 三、性质 #### 1. 介值定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，且 $f(a)<c<f(b)$ 或 $f(a)>c>f(b)$，则在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $\alpha$，使得 $f(\alpha)=c$。 #### 2. 有界性定理与最值定理 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界且有最大值和最小值。 # 一致连续 与连续相似但完全不同。 #### 定义： 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x-2)|<\varepsilon$, 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续。 ### 定理 1： $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续 $\iff$ 对 $I$ 中满足 $$ \lim_{n\to\infty}(x_n'-x_n'')=0 $$ 的任意两个数列 $\{x'_n\}$，$\{x''_n\}$，必有 $$ \lim_{n\to\infty}[f(x'_n)-f(x''_n)]=0 $$ ### Cantor 定理： 设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续。 ### 定理 2： 设函数 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上连续，则 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上一致连续 $\iff\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to b-0}f(x)$ 都存在。 # 导数 ## 一、定义 1. 导数： $$ f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ 若该极限存在，则称 $f$ 可导。 2. 右/左导数： $$ f_\pm'(x)=\lim_{h\to\pm0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ 3. 微分： $$ \text{d}f_x:h\mapsto f'(x)h $$ 4. Leibniz 公式： $$ (f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)} $$ # 中值定理与泰勒公式 ## 一、Fermat 定理 若 $x_0$ 是 $f$ 的极值点，且导数 $f'(x_0)$ ，则一定有 $f'(x_0)=0$。 （定理二，三，四皆满足 $f$ （以及 $g$）在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导。 ## 二、Rolle 定理 $f(a)=f(b)\implies\exists\xi\in(a,b)$，使得 $f'(\xi)=0$。 ## 三、Lagrange 中值定理 $\exists\xi\in(a,b)$，使得 $$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$。 ## 四、Cauchy 中值定理 若满足条件 $g(b)-g(a)\neq0$，和 $f'^2(x)+g'^2(x)\neq0,\forall x\in(a,b)$，则 $\exists\xi\in(a,b)$，使得 $$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ ## 五、Darboux 定理 设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f'$ 具有介值性质。 ## 六、Taylor 公式 $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) $$ 余项 $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$ 称为 Peano 余项。 这个项可以为 $$ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(x_0\le\xi\le x) $$ $$ \frac{f^{(n+1)}(\eta)}{n!}(x-\eta)^n(x-x_0)(x_0\le\eta\le x) $$ 需要注意的是，Maclaurin 公式就是 $x_0$ 取 0 时的 Taylor 公式。 # 洛必达法则 保证 $f,g$ 在 $a$ 的一去心邻域 $U_0(a,\delta)$ 内可导。 --- ## $\frac 0 0$ 型 若函数 $f$，$g$ 满足： 1) $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0

2) \forall x\in U_0(a,\delta),g'(x)\neq0 3) \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A （A\in{\mathbb{R}}\cup\set{+\infty,-\infty}）
则有

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A

\frac \infty \infty 型

若函数 f，g 满足： 1) \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\infty 2) \forall x\in U_0(a,\delta),g'(x)\neq0 3) \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A （A\in{\mathbb{R}}\cup\set{+\infty,-\infty}） 则有

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A

不定积分

一、定义

  1. 设区间 I 上有函数 f(x)。若 F(x) 是区间 I 上的可微函数，使得 F'(x)=f(x),\forall x\in l，则称 F(x) 为 f(x) 的一个原函数。
  2. 将 f(x) 的所有原函数的集合称为 f(x) 的不定积分，记作 \displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C。这里的 F(x)+C 表示的是 \set{F(x)+C|C\in \mathbb{R}}。
  3. （出现在积分符号中的函数保证有原函数）有
\int(af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx
  1. \displaystyle\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-F[(f^{-1}(x))]+C,F'(x)=f(x)

    二、换元法

  2. \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C
  3. 若 \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=G(x)+C, 则 \displaystyle\int f(x)dx=G(g^{-1}(x))+C。

    三、分部积分法

  4. \int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx
  5. \int udv=uv-\int vdu

    四、有理函数的积分方法

    1、有理函数

  6. 实系数多项式 P(x) 能分解为一次因式和无实根二次因式的乘积，即
P(x)=A\prod_{i=1}^{s}(x-x_i)^{m_i}\prod_{i=1}^t(x^2+a_ix+b_i)^{n_i}
  1. 任何有理函数都能唯一地写成一个多项式和一个真分式的和。
  2. 设真分式 R(x)=\frac {P(x)}{Q(x)}, 其中 Q(x)=\prod_{i=1}^{s}(x-x_i)^{m_i}\prod_{i=1}^t(x^2+a_ix+b_i)^{n_i}，那么存在一系列常数 A_{ij},B_{ij},C_{ij}，使得：
R(x)=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^{m_i}\frac{A_{ij}}{(x-x_i)^j}+\sum_{i=1}^t\sum_{j=1}^{n_i}\frac{B_{ij}x+C_{ij}}{(x^2+a_ix+b_i)^j}

2、三角函数有理式

使用万能公式进行替换即可。

定积分

一、Riemann 积分

1. 定义

设 f(x) 在闭区间 [a,b] 有定义，a<b。 1) 称点集 \Delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} 为 [a,b] 的一个分划，若：a=x_0<\cdots<x_n=b, 记 \Delta x_i=x_i-x_{i-1},i=1,2,\cdots,n,\lambda(\Delta)=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\Delta x_i ，表示细分的程度。 2) 设 \Delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} 为 [a,b] 的一个分划，任取 \xi_i\in[x_{i-1},x_i]，则称 \displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i 为 f 在 [a,b] 的分划 \Delta 上的一个Riemann 和。 3) 若存在 I\in\mathbb{R},\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0，对 \lambda(\Delta)<\delta 的分划 \Delta 和其上的任意 Riemann 和 \displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i，都有 |\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon，则称 f 在区间 [a,b] 上 Riemann 可积或简称可积，记为 f\in R[a,b]，称 I 为 f 在区间 [a,b] 上的 Riemann 积分或定积分，记为 \displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=I。

2. 定理

  1. 如果定积分存在，则唯一。
  2. 若 f(x)\in R[a,b]，则 f(x) 在 [a,b] 上有界。
  3. 如果 f(x)\in C[a,b]，则 f(x)\in R[a,b]。
  4. 如果 f(x) 在 [a,b] 上单调，则 f(x)\in R[a,b]。

    二、Darboux 理论

    1. 定义

M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}\{f(x)\},m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}\{f(x)\}

并考虑以下的和式：

\overline{S}(\Delta)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,\underline{S}(\Delta)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i
  2. 若 \Delta'，\Delta'' 都是区间 [a,b] 的分划，且 \Delta'\subset\Delta''，则称 \Delta'' 是 \Delta' 的细分。
\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x=\sup_{\Delta}(\underline{S}(\Delta)),\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x=\inf_{\Delta}(\overline{S}(\Delta))

称 \underline{\displaystyle\int_a^b}f (x)\mathrm{d}x,\overline{\displaystyle\int_a^b}f (x)\mathrm{d}x 分别为 f(x) 在区间 [a,b] 上的下积分和上积分。

  1. ### 2. 定理
  2. 若 \Delta'，\Delta'' 都是区间 [a,b] 的分划，且 \Delta'\subset\Delta''，则有：
\overline{S}(\Delta')\ge\overline{S}(\Delta''),\underline{S}(\Delta')\le\underline{S}(\Delta'')
  1. 若 \Delta'，\Delta'' 都是区间 [a,b] 的分划,，则有 \underline{S}(\Delta')\le\overline{S}(\Delta'')。
  2. （Darboux 定理）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，则
\lim_{\lambda(\Delta)\to0}\overline{S}(\Delta)=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x,\lim_{\lambda(\Delta)\to0}\underline{S}(\Delta)=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x
  1. 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，则 f(x)\in R[a,b] 的充要条件是：
\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x
  1. 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，则下面三个结论等价： 1) f(x)\in R[a,b]。 2) \forall\varepsilon>0，\exists[a,b] 的一个分划 \Delta，使得 \displaystyle\sum_{i=1}^n \omega\Delta x_i<\varepsilon。 3) \forall\varepsilon>0，\forall\sigma>0，\exists[a,b] 的一个分划 \Delta，使得 \omega_i\ge\varepsilon 的的小区间的长度总和小于 \sigma。

    三、定积分的性质

    声明：在无特殊说明情况下，假设 f(x) 在积分区间内有定义，可积。

    1. 初等性质

\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x

2.

\int_a^b(nf(x)+mg(x))\mathrm{d}x=n\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+m\int_a^bg(x)\mathrm{d}x

3.

|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x|\le\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x

2. 微积分基本定理

  1. （Newton-Leibniz 公式）设函数 f(x) 在区间 [a,b] 内有原函数 F(x)，则 \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)，记为 F(x)|_a^b:=F(b)-F(a)。
  2. (微积分基本定理) 设 f(x) 在 x_0\in[a,b] 连续，记 F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\mathrm{d}t，则 F'(x_0)=f(x_0)。

    四、定积分的计算

    套用 Newton-Leibniz 公式，其余与不定积分大体相同。

后记

到这里，我便结束了领军计划的学习。

在此纪念。