权值树状数组是啥？
这是一种当半个平衡树使的树状数组，值域小或不强制在线（两者只需满足其一）时可以用。
平衡树的一系列操作时间复杂度均为 O(\log n) （n 是值域）。
（如果值域大，可以把操作离线下来然后离散化）
然鹅要开权值数组，所以空间复杂度 O(n)。
怎么搞？
以平衡树板题为例：
维护一个集合，6 个操作：
- 插入 x 数
- 删除 x 数
- 查询 x 数的排名
- 查询排名为 x 的数
- 求 x 的前驱
- 求 x 的后继
这个树状数组是当做一个桶来用的。
假设这个树状数组维护的桶叫做 g。
插入 x
## 删除 x
$x$ 的出现次数 $-1$，即修改 $g_x\gets g_x-1$。
## 求 x 的排名
不难得出，$\left(\sum\limits_{i=1}^{x-1}g_i\right)+1$ 即为所求。
## 求排名为 x 的数
设 $x$ 的排名表示为 $f(x)=\left(\sum\limits_{i=1}^{x-1}g_i\right)+1$。
形式化地，求 $\max\limits_{f(k)\leq x}k$，我们把下面的条件移个项：
$$
\begin{aligned}
\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}g_i\right)+1\leq x\\
\sum\limits_{i=1}^{k-1}g_i\leq x-1
\end{aligned}
$$
看起来像二分，不过复杂度变成 $\log^2n$，不太行。
有一个叫树状数组上倍增的 trick（可以去看[这道题](https://www.luogu.com.cn/problem/P6619)的题解），可以解决这个问题。
设当前位置为 $r$（初值为 $0$），$t=\sum\limits_{i=1}^rg_i$。
不断尝试把 $r$ 往后跳 $2^{\log n},2^{\log n-1},2^{\log n-2},...,2^0$，时刻保证 $\sum\limits_{i=1}^rg_i\leq x-1$，即 $t<x$。
考虑如何更新 $t$。不难发现，$r$ 只会从 $r - \operatorname{lowbit}(r)+1$ 跳到 $r$。
于是我们直接利用树状数组的结构 $c_r=\sum\limits_{i=r-\operatorname{lowbit}(r)+1}^rg_i$，$t\gets t+c_r$ 即可。
$r$ 不能再往后跳，就说明 $r$ 达到满足条件的最大值，
对照上面的公式，$r=k-1$，答案即为 $r+1$。
举个例子：集合内有 $8$ 个数 $1,2,3,4,5,6,7,8$：
现在要求排名为 $6$ 的数。
尝试把 $r$ 向后跳 $2^3$ 到 $r=8$：
$t=8>6$，不能跳，$r=0$，$t=0$。
尝试把 $r$ 向后跳 $2^2$ 到 $r=4$：
$t=4<6$，可以跳，$r=4$，$t=4$。
尝试把 $r$ 向后跳 $2^1$ 到 $r=6$：
$t=6=6$，不能跳，$r=4$，$t=4$。
尝试把 $r$ 向后跳 $2^0$ 到 $r=5$：
$t=5<6$，可以跳，$r=5$，$t=5$。
答案即为 $r+1=6$。
```cpp
int kth(int k)
{
int r = 0, t = 0;
for(int i = log值域, x, y;i >= 0;--i)
{
if((x = r + (1 << i)) > 值域) continue;
if((y = t + c[x]) < k) r = x, t = y;
}
return r + 1;
}
```
## 求 x 的前驱
前驱就是排名为 $\max\limits_{f(i)<f(x)}f(i)$ 的数。
要保证 $f(i)<f(x)$ 的情况下 $f(i)$ 最大，可以令 $f(i)=f(x)-1$。
那么只需要求 $\operatorname{kth}(f(x)-1)$ 即可（**注意括号**）。
## 求 x 的后继
同理，后继就是排名为 $\min\limits_{i>x}f(i)$ 的数。
要保证 $i>x$ 的情况下 $f(i)$ 最小，可以令 $i=x+1$。
即求 $\operatorname{kth}(f(x+1))$ （**注意括号**）。
------------
参考代码：
```cpp
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define h(x) lower_bound(a, a + m, x) - a + 1
using namespace std;
struct Q{int o, x;}q[100050];
int n, m, lg, a[100050], c[100050];
void chg(int x, int k) {for(;x <= m;x += x & -x) c[x] += k;}
int ask(int x) {int r = 0;for(;x;x &= x - 1) r += c[x];return r;}
int kth(int k)
{
int r = 0, t = 0;
for(int i = lg, x, y;i >= 0;--i)
{
if((x = r + (1 << i)) > m) continue;
if((y = t + c[x]) < k) r = x, t = y;
}
return a[r];
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0;i < n;++i)
{
scanf("%d%d", &q[i].o, &q[i].x);
if(q[i].o != 4) a[m++] = q[i].x;
}
sort(a, a + m);lg = log2(m = unique(a, a + m) - a);
for(int i = 0, o, x;i < n;++i)
{
o = q[i].o, x = q[i].x;
switch(o)
{
case 1: chg(h(x), 1);break;
case 2: chg(h(x), -1);break;
case 3: printf("%d\n", ask(h(x) - 1) + 1);break;
case 4: printf("%d\n", kth(x));break;
case 5: printf("%d\n", kth(ask(h(x) - 1)));break;
case 6: printf("%d\n", kth(ask(h(x)) + 1));break;
}
}
return 0;
}
```
显而易见，把求和换成任何奇奇怪怪的运算符，
**且保证 $f(i)$ 单调不降**（满足倍增性质），就可以维护各种奇奇怪怪的东西。
>重新定义 $x$ 的排名为 $\max\limits_{i=1}^{x-1}c(i)$，其中 $c(i)$ 为 $i$ 在集合中出现的次数。
>在此排名意义下，维护平衡树的 6 个操作。允许 $\log^2n$ 插入删除。值域 $[1,10^6]$。
做法类似，不展开叙述：
```cpp
#include <cstdio>
#define l(x) (x & -x)
int n, a[1000050], c[1000050];
int max(int x, int y) {return x > y ? x : y;}
void chg(int x, int k) {a[x] += k;for(;x <= 1e6;x += l(x)) {c[x] = a[x];
for(int i = 1;i < l(x);i <<= 1) c[x] = max(c[x], c[x - i]);}}
int ask(int x) {int r = 0;for(;x;x &= x - 1) r = max(r, c[x]);return r;}
int kth(int k)
{
int r = 0, t = 0;
for(int i = 20, x, y;i >= 0;--i)
{
if((x = r + (1 << i)) > 1e6) continue;
if((y = max(t, c[x])) <= k) r = x, t = y;
}
return r + 1;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0, o, x;i < n;++i)
{
scanf("%d%d", &o, &x);
switch(o)
{
case 1: chg(x, 1);break;
case 2: chg(x, -1);break;
case 3: printf("%d\n", ask(x - 1));break;
case 4: printf("%d\n", kth(x));break;
case 5: printf("%d\n", kth(ask(x - 1) - 1));break;
case 6: printf("%d\n", kth(ask(x)));break;
}
}
return 0;
}
```
注意到权值线段树可以 $\log n$ 插入删除，但 BIT 常数小无伤大雅。
当然，你也可以用类似的方法解决[区间 MEX 问题](https://www.luogu.com.cn/problem/P4137)，
但维护 MEX 的树状数组并不是（狭义的）权值树状数组，本文不做说明。
# 扩展篇
>考虑维护一种数据结构：
>1. 插入 $i∈[x,y]$。
>2. 删除 $i∈[x,y]$。
>3. 求 $x$ 的排名。
>4. 求排名为 $x$ 的数。
>5. 求 $x$ 的前驱。
>6. 求 $x$ 的后继。
权值线段树可以轻松解决这种问题，但众所周知 BIT 常数更优。
（注意到这里二者都可以 $\log n$ 维护所有操作）
我们知道，树状数组维护区间修区间查用两个数组，
一个维护差分数组 $d_i$，一个维护 $d_i\times (i-1)$。
那么查询前缀和就可以这样：
$$
\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^xg_i&=\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^id_i\\
&=\sum\limits_{i=1}^xd_i\times (x-i+1)\\
&=x\sum\limits_{i=1}^xd_i-\sum\limits_{i=1}^xd_i\times (i-1)
\end{aligned}
$$
这样，$r$ 从 $x-\operatorname{lowbit}(x)+1$ 跳到 $x$，$t$ 就要加上：
$$
\begin{aligned}
\small\sum\limits_{i=1}^xg_i-\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}g_i&\small=\left[x\sum\limits_{i=1}^xd_i-\sum\limits_{i=1}^xd_i\times (i-1)\right]-\left\{[x-\operatorname{lowbit}(x)]\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i-\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i\times (i-1)\right\}\\&=\small\left[x\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i+x\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i-\sum\limits_{i=1}^xd_i\times (i-1)\right]-\left\{[x-\operatorname{lowbit}(x)]\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i-\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i\times (i-1)\right\}\\&\small=\left\{x\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i-[x-\operatorname{lowbit}(x)]\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i\right\}+x\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i-\left[\sum\limits_{i=1}^xd_i\times (i-1)-\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i\times (i-1)\right]\\&\small=\operatorname{lowbit}(x)\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i+x\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i-\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i\times (i-1)
\end{aligned}
$$
注意，$r$ 从 $x-\operatorname{lowbit}(x)+1$ 跳到 $x$，
即 $r$ **跳之前**是 $x-\operatorname{lowbit}(x)+1$，**跳之后**是 $x$。
言归正传，假设刚才说的两个树状数组分别叫 $a,b$，
由上面说的树状数组性质可得，$a_i=\sum\limits_{j=i-\operatorname{lowbit}(x)+1}^i d_i$，$b_i=\sum\limits_{j=i-\operatorname{lowbit}(x)+1}^i d_i\times (i-1)$。
分析一下最后得到 $t$ 在 $r$ 跳之后所加的数值：
$$
\operatorname{lowbit}(x)\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i+x\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i-\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i\times (i-1)
$$
1. $\operatorname{lowbit}(x)\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i$： 不太好处理，先不管。
2. $x\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i$：等于 $a_x\times x$。
3. $\sum\limits_{i=x-\operatorname{lowbit}(x)+1}^xd_i\times (i-1)$：等于 $b_x$。
为了处理第 $1$ 项，我们还需要查询 $d_i$ 任意前缀和，但复杂度就不对了。
所以我们可以在 $r$ **每跳一次之后**累加 $a_r$ 到一个变量 $s$ 里，
不难发现，在每次 $r$ **跳之前** $s=\sum\limits_{i=1}^{x-\operatorname{lowbit}(x)}d_i$，正好是我们需要的，
则 $r$ **跳之前**，第一项可以表示为 $s\times \operatorname{lowbit}(x)$，最终结果可以表示为：
$$
s\times \operatorname{lowbit}(x)+a_x\times x-b_x
$$
上面强调只能在 $r$ **跳之前**用 $s$ 的值，也就是应该在 $r$ **跳之后**更新 $s$。
同样，直到 $r$ 不能再跳，$r+1$ 就是答案。
```cpp
//c,d 是上面的 a,b
int kth(int k)
{
int r = 0, t = 0, s = 0;
for(int i = log值域, x, y, z, cx;i >= 0;--i)
{
z = 1 << i;if((x = r + z) > 值域) continue;
cx = c[x];y = t + s * z + cx * x - d[x];
if(y < k) r = x, t = y, s += cx;
}
return r + 1;
}
```
参考代码：
```cpp
#include <cstdio>
#define int long long
int n, c[1000050], d[1000050];
void chg(int x, int k) {for(int i = x;i <= 1e6;i += i & -i) c[i] += k, d[i] += (x - 1) * k;}
int ask(int x) {int r = 0;for(int i = x;i;i &= i - 1) r += c[i] * x - d[i];return r;}
int kth(int k)
{
int r = 0, t = 0, s = 0;
for(int i = 20, x, y, z, cx;i >= 0;--i)
{
z = 1 << i;if((x = r + z) > 1e6) continue;
cx = c[x];y = t + s * z + cx * x - d[x];
if(y < k) r = x, t = y, s += cx;
}
return r + 1;
}
signed main()
{
scanf("%lld", &n);
for(int i = 0, o, x, y;i < n;++i)
{
scanf("%lld%lld", &o, &x);
switch(o)
{
case 1: scanf("%lld", &y);chg(x, 1);chg(y + 1, -1);break;
case 2: scanf("%lld", &y);chg(x, -1);chg(y + 1, 1);break;
case 3: printf("%lld\n", ask(x - 1) + 1);break;
case 4: printf("%lld\n", kth(x));break;
case 5: printf("%lld\n", kth(ask(x - 1)));break;
case 6: printf("%lld\n", kth(ask(x) + 1));break;
}
}
return 0;
}
```
# 关于树套树
没错，这玩意还能套娃。以[树套树板题](https://www.luogu.com.cn/problem/P3380)为例：
>维护一个有序数列，5 个操作：
>1. 查询 $k$ 在区间内的排名
>2. 查询区间内排名为 $k$ 的值
>3. 修改某一位值上的数值
>4. 查询 $k$ 在区间内的前驱（**若不存在输出 `-2147483647`**）
>5. 查询 $k$ 在区间内的后继（**若不存在输出 `2147483647`**）
但是需要解决一些问题。
## 动态开点
有人就疑惑了：树状数组又不能动态开点，你这空间不是 $O(n^2) $？
咱们用**哈希表**动态开点。~~只能应付随机数据，故意要卡容易 TLE~~
因为自己写容易锅掉，所以用 pbds。
```cpp
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
gp_hash_table<int, int> c; //定义一个哈希表，操作和 map 差不多
```
实测这玩意比 unordered_map 快了不只两倍。
当然，如果用哈希表，查询和修改就要相应地优化一下：
```cpp
struct BIT
{
__gnu_pbds::gp_hash_table<int, int> c;
void chg(int x, int k) {for(;x <= p;x += x & -x) if((c[x] += k) == 0) c.erase(x);}
int ask(int x) {int r = 0;for(;x;x &= x - 1) if(c.find(x) != c.end()) r += c[x];return r;}
int get(int x) {return c.find(x) != c.end() ? c[x] : 0;} //返回 c[x]，之后的 kth 会用到
}c[50050];
```
## 整体加减
众所周知，喜闻乐见的 BIT 套动态开点权值线段树是 $O(n\log^2n)$ 的，
少一只 $\log$ 的关键就在于求 $\operatorname{kth}$ 时，线段树的整体加减。
实际上，树状数组也有类似的性质：
```cpp
int kth(int l, int r, int k)
{
int s = 0, t = 0, n = l, m = r;
for(int i = lg, x, y;i >= 0;--i)
{
if((x = s + (1 << i)) > p) continue;--l;y = t;
for(;r > l;r &= r - 1) y += c[r].get(x); //c[r].get(x) 即 c[r].c[x]
for(;l > r;l &= l - 1) y -= c[l].get(x); //c[l].get(x) 即 c[l].c[x]
if(y < k) s = x, t = y;l = n;r = m;
}
return v[s];
}
```
当然，这样做就只能整体离散化一次，而不是对于每颗 BIT 分别离散化。
这里以树状数组套权值树状数组为例：
```cpp
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#define inf 2147483647
#define Ask(x) ask(l, r, x)
#define Kth(x) kth(l, r, x)
#define h(x) lower_bound(v, v + p, x) - v + 1
using namespace std;
int n, m, p, lg, a[50050], v[100050];
struct Q{int o, l, r, k;}q[50050];
struct BIT
{
__gnu_pbds::gp_hash_table<int, int> c;
void chg(int x, int k) {for(;x <= p;x += x & -x) if((c[x] += k) == 0) c.erase(x);}
int ask(int x) {int r = 0;for(;x;x &= x - 1) if(c.find(x) != c.end()) r += c[x];return r;}
int get(int x) {return c.find(x) != c.end() ? c[x] : 0;}
}c[50050];
void ins(int x, int k) {for(k = h(k);x <= n;x += x & -x) c[x].chg(k, 1);}
void del(int x, int k) {for(k = h(k);x <= n;x += x & -x) c[x].chg(k, -1);}
int ask(int l, int r, int x)
{
int s = 0, t = h(x) - 1;--l;
for(;r > l;r &= r - 1) s += c[r].ask(t);
for(;l > r;l &= l - 1) s -= c[l].ask(t);
return s + 1;
}
int kth(int l, int r, int k)
{
int s = 0, t = 0, n = l, m = r;
for(int i = lg, x, y;i >= 0;--i)
{
if((x = s + (1 << i)) > p) continue;--l;y = t;
for(;r > l;r &= r - 1) y += c[r].get(x);
for(;l > r;l &= l - 1) y -= c[l].get(x);
if(y < k) s = x, t = y;l = n;r = m;
}
return v[s];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1;i <= n;++i)
scanf("%d", a + i), v[p++] = a[i];
for(int i = 0, o, l, r, k;i < m;++i)
{
scanf("%d%d%d", &o, &l, &r);
o == 3 ? v[p++] = r : scanf("%d", &k);
q[i] = {o, l, r, k};
}
sort(v, v + p);lg = log2(p = unique(v, v + p) - v);
for(int i = 1;i <= n;++i) ins(i, a[i]);
for(int i = 0, o, l, r, k, t;i < m;++i)
{
o = q[i].o, l = q[i].l, r = q[i].r, k = q[i].k;
switch(o)
{
case 1: printf("%d\n", Ask(k));break;
case 2: printf("%d\n", Kth(k));break;
case 3: del(l, a[l]);ins(l, a[l] = r);break;
case 4: printf("%d\n", (t = Ask(k)) == 1 ? -inf : Kth(t - 1));break;
case 5: printf("%d\n", (t = Ask(k + 1)) > r - l + 1 ? inf : Kth(t));break;
}
}
return 0;
}
```
这里外层树的 `ask` 和 `kth` 的特殊写法，参考[这里](https://www.luogu.com.cn/blog/countercurrent-time/qian-tan-shu-zhuang-shuo-zu-you-hua)的查询优化。