CF932E solution

· · 题解

嗯，你看这群人，才推出 \Theta(k \log k) 就不往下了，真是太逊了

提供一种时间复杂度 \Theta(k) 的做法。

\sum_{i=0}^n \binom ni i^k

将 i^k 用第二类 Stirling 数展开

=\sum_{i=0}^n \binom ni \sum_{j=1}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix}i^{\underline j} =\sum_{j=1}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix}j! \sum_{i=0}^n \binom ni \binom ij =\sum_{j=1}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix}j! \sum_{i=0}^n \binom nj \binom{n-j}{i-j} =\sum_{j=1}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix}j! \binom nj \sum_{i=0}^{n-j} \binom{n-j}{i} =\sum_{j=1}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} j! \binom{n}{j} 2^{n-j}

很多人推到这里就停了，因为一行第二类 Stirling 数可以很容易的用一次卷积计算；但将其进一步展开，就可以做到更优的复杂度。

在 n > k 的时候，原式等于

\sum_{j=1}^k \binom nj 2^{n-j} \sum_{i=1}^j \binom jii^k(-1)^{j-i}

使用魔法 交换一下求和顺序

=\sum_{i=1}^k i^k\sum_{j=i}^k \binom nj\binom ji 2^{n-j}(-1)^{j-i} =\sum_{i=1}^k i^k\binom ni \sum_{j=i}^k \binom{n-i}{j-i}2^{n-j}(-1)^{j-i} =\sum_{i=1}^k \binom ni i^k 2^{n-i}\sum_{j=0}^{k-i} \binom{n-i}{j} \left( - \frac 12\right)^j

设 f_i 为后面那个和式的值，考虑递推：
（为了方便下面表示，设 w=-0.5）

f_{i}-f_{i+1} = \left(\sum_{j=0}^{k-i} \binom{n-i}{j} w^j \right)-\left( \sum_{j=0}^{k-i-1} \binom{n-i-1}{j}w^j\right)

把前一个和式中 j=k-i 的项提出来，其他的并进去

= \binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+ \sum_{j=0}^{k-i-1} \left( \binom{n-i}{j} - \binom{n-i-1}{j}\right) w^j =\binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+\sum_{j=0}^{k-i-1} \binom{n-i-1}{j-1} w^j = \binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+w\sum_{j=0}^{k-i-2} \binom{n-i-1}{j}w^j

再把那个和式最后缺的一项补回来

=\binom{n-i}{k-i} w^{k-i}+w \left( f_{i+1}-\binom{n-i-1}{k-i-1}w^{k-i-1}\right) =\binom{n-i}{k-i} w^{k-i}+wf_{i+1}-\binom{n-i-1}{k-i-1}w^{k-i} = \binom{n-i-1}{k-i}w^{k-i}+wf_{i+1}

于是得到递推式

f_i=(w+1)f_{i+1} + \binom{n-i-1}{k-i}w^{k-i}

递推处理组合数，再线性筛出 i^k，就可以做到严格的 \Theta(k) 了。

#pragma GCC optimize ("unroll-loops")
#pragma GCC optimize (2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 5007
#define ll long long
#define p 1000000007
#define reg register
using namespace std;

inline int power(int a,int t){
    int res = 1;
    while(t){
        if(t&1) res = (ll)res*a%p;
        a = (ll)a*a%p;
        t >>= 1;
    }
    return res;
}

int n,m,k,cnt;
int f[N],inv[N],pw[N],pr[N>>1],c[N];

int solve1(){
    int res = 0;
    for(reg int i=1;i<=n;++i) res = (res+(ll)c[i]*pw[i])%p;
    return res;
}

const int w = 500000003;

int solve2(){
    int c2,mul,res = 0;
    mul = c2 = f[k] = 1;
    for(reg int i=k-1;i;--i){
        c2 = (ll)c2*(n-i-1)%p*inv[k-i]%p;
        mul = (ll)mul*w%p;
        f[i] = ((ll)c2*mul+(ll)(w+1)*f[i+1])%p;
    }
    mul = p-w;
    for(reg int i=1;i<=k;++i){
        res = (res+(ll)pw[i]*c[i]%p*mul%p*f[i])%p;
        mul = (ll)mul*(p-w)%p;
    }
    res = (ll)res*power(2,n)%p;
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&k);
    c[0] = inv[1] = pw[1] = 1;
    c[1] = n;
    for(reg int i=2;i<=k+1;++i){
        inv[i] = (ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        c[i] = (ll)c[i-1]*inv[i]%p*(n-i+1)%p;
        if(!pw[i]){
            pr[++cnt] = i;
            pw[i] = power(i,k);
        }
        for(reg int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=k;++j){
            pw[i*pr[j]] = (ll)pw[i]*pw[pr[j]]%p;
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
    if(n<=k+1) printf("%d",solve1());
    else printf("%d",solve2());
    return 0;   
}

CF1278F 和这题其实是一个做法，双倍经验