小学生都能看懂的错排问题解析

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洛谷不支持 Flash 很蛋疼啊
我本来想做成交互式内容的，现在只能疯狂贴图……

你需要知道哪些信息学知识：

递推/简单DP。没了。

面向小学生的（并非严谨的）数学前置技能

  1. 数集：一堆的互不相同的数放在一起。
  2. 元素：数集中的一个数称为这个数集的一个元素。
  3. 数学上的函数：f(x)= 表达式
    转化为信息学的写法长成这样： 
    double f(double x) {
 return 表达式;
}
  4. 一一对应：通俗的说法就是一个萝卜一个坑。
    数学上两个数集一一对应指的是：
    有两个数集 A 和 B，
    对于 A 里面任意一个数，在 B 中都能找到一个数与之对应；
    并且对于 B 里面任意一个数，在 A 中也一定能找到一个数与之对应，
    那么，数集 A 与数集 B 一一对应。

问题

有 n 个箱子，颜色分别为 1\dots n；还有 n 个球，颜色也分别为 1\dots n。现在要将每一个球分别放入一个箱子里，并且一个箱子里只能放一个球。

试求有多少种方案满足：每个箱子，和它里面球的颜色，都不一样。

下图使用一种不知道叫啥的线表示哪个球不能放进哪个箱子里（再三强调不能放进，有些小盆友还以为是哪个球放哪个箱子里……）。后文还会多次出现这种不知道叫啥的线。

→→此处我们把 X 号球 不能放进 Y 号箱称为一组对应关系，简写为 X\sim Y（注意，这不是书上正经的讲法和符号，这里这样写只是为了方便），画在图中就用这种不知道叫啥的线。←←

于是，我们换一种方式描述题目：试求有多少种方案满足：1\sim 1，2\sim 2，……，n\sim n。

很多人学错排问题时，就只知道上面这种形式。然而，他们没有抓住错排问题的本质。我变一下，如果 1\sim 2，2\sim 3，……，n-1\sim n，n\sim 1，答案和上面一样吗？

一样吧？那下面这种对应关系呢？

有点乱，但答案一样吧？但是，下面这几个呢？

看起来不对劲。前者出现了一对多、多对一，后者出现了有些球和箱子没有对应。没错，答案会不一样。

那么，你搞清楚了正确定义了吗？

\

有 n 个球，n 个箱子。某个箱子不能放某一个球，其他球都可以放进去；反过来，某个球一定不能放进某个箱子，并且其他箱子都允许放进去。
现在要将每个球分别放进一个箱子里，一个箱子里只能放一个球。求方案数。

\

现在，我们进入核心部分：

递推式

回到开头给的题目。

数学上我们用 D_n 表示有 n 个球 n 个箱子时的方案数。自己简单算一下可以得出 D_1=0, D_2=1, D_3=2。

我们来看下 D_n(n\ge 4) 的情况。要推出怎么做，需要分类讨论。不妨分成 n-1 种情况：n 号球放进了 1 号箱子，n 号球放进了 2 号箱子…… n 号球放进了 n-1 号箱子（现在我们在讲开头的题目，所以 n 号球不能放进 n 号箱子）。注意，分类讨论时要搞清楚是否涵盖了所有的情况。我们可以把所有情况列出来：

把 n 号球放进：

  • ……
  • \text{k} 号箱子
  • ……

现在，我们只着眼于一种情况：n 号球放进了 k 号箱子。

现在，我们再分为两种情况：一种是 k 号球放进了 n 号箱子，另一种是 k 号球没有放进 n 号箱子。

把 n 号球放进：

  • ……
  • * **$\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子** * **$\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子**
  • ……

如果 k 号球放进了 n 号箱子：

我们可以发现，如果不看 k 号球 k 号箱子 n 号球 n 号箱子，那么，将剩下的球按规定放进剩下的箱子有 D_{n-2} 种方案。

把 n 号球放进：

  • ……
  • * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ **种方案** * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子
  • ……
\

为了和上面区分，这里我们描述为：如果 k 号球不能放进 n 号箱子。

动脑筋想想，这个东西是不是可以写成 k\sim n？（回到上面读读 \sim 的定义）

我们可以发现，如果不看 n 号球和 k 号箱子，那么，将剩下的球按规定放进剩下的箱子有 D_{n-1} 种方案。还没看懂？那我把 k 号球移过来，你能不能看懂？

还没看懂？回到上面读读错排问题的正确定义。

把 n 号球放进：

  • ……
  • * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ 种方案 * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-1}$ **种方案**
  • ……
\

我们发现，把 n 号球放进 \text{k} 号箱子后的两种情况我们都能够求出答案。现在，我们可以把两者合起来！

把 n 号球放进：

  • ……
  • * $\text{k}$ 号球放进了 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-2}$ 种方案 * $\text{k}$ 号球没有放进 $\text{n}$ 号箱子 $\longrightarrow$ $D_{n-1}$ 种方案
  • ……

这个 k 是一个未知数，也就是说，无论 k=1 还是 2 还是多少，答案是不变的！

把 n 号球放进：

  • ……
  • ……

最后一步，你会了吗？

\ \large D_1=0 \large D_2=1 \large D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})(n\ge 2)

通项公式

下面这些我没有和小学生讲，错排的通项公式对小学生还是太难了一点。

D_n=n!\left[\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+(-1)^n\frac{1}{n!}\right]

还有一个原因，这东西没法子快速计算……

顺便讲一下这东西怎样从递推式推导为通项公式的。以下内容来自维基。

设 D_n = n!M_n，则 M_1 = 0, M_2 = \dfrac {1}{2}。 当 n\ge 3 时，D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})，即

n!M_{n}=(n-1)\times (n-1)!M_{n-1}+(n-1)\times (n-2)!M_{n-2}=n!M_{n-1}-(n-1)!M_{n-1}+(n-1)!M_{n-2}

化简得

nM_{n}-nM_{{n-1}}=-M_{{n-1}}+M_{{n-2}}

于是

M_{n}-M_{{n-1}}=-{\frac {1}{n}}(M_{{n-1}}-M_{{n-2}})=...=(-{\frac {1}{n}})(-{\frac {1}{n-1}})...(-{\frac {1}{3}})(M_{2}-M_{1})=(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}

所以

\begin{aligned}M_{{n}}-M_{{n-1}}&=(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}\\M_{{n-1}}-M_{{n-2}}&=(-1)^{{(n-1)}}{\frac {1}{(n-1)!}}\\\vdots \quad &=\quad \vdots \\M_{2}-M_{1}&=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}\\ \end{aligned}

将上面式子分边累加，得

M_{n}=(-1)^{2}{\frac {1}{2!}}+(-1)^{3}{\frac {1}{3!}}...+(-1)^{{n}}{\frac {1}{n!}}

因此，我们得到错排的通项公式 D_{n}=n!M_{n}=n!\left[{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right]