题解 P3390 【【模板】矩阵快速幂】

· · 题解

update:2019-9-2

非常抱歉图炸了，现在应该修复了，管理员给个通过吧（我也不知道为啥图莫名其妙挂了，难道我把图片挂在博客园上不天天访问就会失活？）

update:2019-2-23

忽然意识到没有说单位矩阵这个重要的东西，尴尬，现在补上了

嗯，这玩意看着很难对吧，昨天我还是这样想的。。直到今天看到了斐波那契公约数这道题

这道题一看我这种辣鸡就不会做啊，然后rqy告诉我这是傻逼题啊，我忽然就想起了以前听说过的矩阵乘。。然后懒惰的DDOSvoid大佬告诉我要做这道题，得先做斐波那契数列,要做斐波那契数列，得先做矩阵加速,要做矩阵加速，得先做矩阵快速幂。。于是，一个上午就这么过去了

(想看代码直接翻到最下面，本文主要为入门讲解)

回归正题

定义

什么是矩阵运算呢？

在理解这个问题前，我们先要知道什么是矩阵

百度百科给的定义如下

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合

复数实数什么的我们先不管，总之，矩阵就是一堆数，按照矩形排列形成的集合

那么，我们所需要记录的也就是它的长、宽以及矩阵中存储的元素

特殊的，长宽相等的矩阵我们定义它为方阵

当两个矩阵的长宽相等时，我们认为这两个矩阵为同型矩形

基本运算

矩阵的运算我们可以类比实数的运算来理解

在实数运算中，一般由进行运算的实数和运算符组成，运算符决定了运算类型

那么同样的，矩阵运算也是如此

加法运算

首先，我们来看加法运算

两个矩阵进行一般的加法运算的前提是两个矩阵为同型矩阵

我们只需要将对应位置的元素相加即可，如下图

在矩阵的加法运算中，满足交换律和结合律，也就是

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

也许有人想问了，如果我想让两个非同型矩形进行相加可不可以实现呢？

答案是可以的，这种运算是被支持的，我们称这种运算为直和

但由于这种运算使用较少，且与本文关系不大，我们在此不多做解释，感兴趣的朋友可以阅览下面的链接，相信它会给你一个满意的答复

矩阵加法

减法运算

在实数运算中，减法为加法的逆运算，同样的，在矩阵运算中也是如此，如下图

数乘

在实数运算中我们并没有数乘这种运算（毕竟本身就是数，直接叫乘法了）

所以在数乘运算中，我们类比向量来进行理解

在数乘向量运算中，只需要将向量中的每个元素乘上那个数就可以了

数乘矩阵也是如此，如图

数乘矩阵运算中，满足如下运算律

(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A) (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B

矩阵乘法（矩阵乘矩阵）

在向量乘向量的运算中，是将每个元素与它对应的元素相乘，求所有乘积之和

那么矩阵乘矩阵是不是就是两个同型矩阵的对应元素相乘呢？

图样图森破

两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

举个栗子，A为n*k矩阵，B为k*m矩阵，C为m*n矩阵，那么A可以与B相乘，B可以与C相乘，C可以与A相乘，其他均不成立

我们知道了什么情况下两个矩阵可以相乘，那么他们怎么相乘呢？不讲每个对应位置相乘还能怎么乘呢？

设A为n*k矩阵，B为k*m矩阵,那么它们的乘积C则为一个n*m矩阵

C_{i,j}=\sum_{r=1}^kA_{i,r}*B_{r,j}

是不是不太好理解，没关系看看图就知道了

在矩阵乘法中满足以下运算律：

(AB)C=a(BC)

(A+B)C=AC+BC

C(A+B)=CA+CB

在普通的乘法中，一个数乘1还是等于它本身，在矩阵乘法中也有这么一个“1”，它就是单位矩阵

不同于普通乘法中的单位1，对于不同矩阵他们的单位矩阵大小是不同的

对于n*m的矩阵，它的单位矩阵大小为m*m，对于m*n的矩阵，它的单位矩阵大小为n*n

也就是说单位矩阵都是正方形的，这是因为只有正方形的矩阵能保证结果和前一个矩阵形状相同

单位矩阵的元素非0即1，从左上角到右下角的对角线上元素皆为1，其他皆为0

了解了这么多，我们开始看题，矩阵快速幂，由于矩阵乘法满足结合律，所以我们只需要把它按照一般的快速幂打，再重载一下运算符就可以了，好了我们直接放代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 105
#define mo 1000000007
using namespace std;

inline ll read(){
    ll a=0;int f=0;char p=gc();
    while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
    while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
    return f?-a:a;
}
int n;

struct ahaha{
    ll a[maxn][maxn];     //一定要用long long存矩阵，否则在过程中会爆掉
    ahaha(){
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    inline void build(){     //建造单位矩阵
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i][i]=1;
    }
}a;
ahaha operator *(const ahaha &x,const ahaha &y){     //重载运算符
    ahaha z;
    for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mo)%mo;
    return z;
}

ll k;
inline void init(){
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            a.a[i][j]=read();
}

int main(){
    init();
    ahaha ans;ans.build();
    do{     //递推快速幂，与普通的递推快速幂无异，但*不能缩写为*=
        if(k&1)ans=ans*a;
        a=a*a;k>>=1;
    }while(k);
    for(int i=1;i<=n;putchar('\n'),++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            printf("%d ",ans.a[i][j]);
    return 0;
}

最后打一下广告 我的博客

感谢您的阅览