题解 P1516 【青蛙的约会】

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很容易想到，如果他们相遇，他们初始的位置坐标之差x-y和跳的距离(n-m)t（设t为跳的次数）之差应该是模纬线长l同余的，即(n-m)t\equiv x-y(\mod l)

转化一下，不就变成了让我们求一个不定方程(n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)中t的最小非负整数解么？

设a=n-m,b=l,c=x-y，把它转化成我们比较熟悉的一般不定方程的形式ax+by=c（此式的x,y与题目给的坐标意义不同）

首先，设g=\gcd(a,b)我们可以通过扩欧求出ax_0+by_0=g中x_0的一个解

这时，因为\frac{ax+by}g为整数，所以\frac c g也必须是整数，否则无解

否则，等式两边同乘\frac cg，得a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c

那么，x=\frac{cx_0}g就是ax+by=c中x的一个解

如何由一个解得到其它解呢？有一个恒等式a(x+db)+b(y-da)=c

在保证db,da都是整数的情况下，我们让d最小，就可以得到所有的整数解，那么d=\frac 1g

如果解出的x>0，那么最小非负整数解等于x\mod\frac b g；否则等于x\mod\frac b g+\frac b g

代码就可以直接写(x%(b/g)+b/g)%(b/g)

然后就可以交上去了，发现获得了70分

怎么回事？因为\gcd只对非负整数有意义，所以如果a<0等式两边要同时取负，a,c都要变成相反数；b本来就是正数，不用变也不能变。

总之，虽然是裸的exgcd题，但是很容易被细节实现坑到，尤其是求最小非负整数解和处理a为负数的地方。

#include<cstdio>
#define LL long long
LL x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp;
void exgcd(LL a,LL b){
    if(!b){x0=1;g=a;return;}//顺便求gcd
    exgcd(b,a%b);
    tmp=x0;x0=y0;y0=tmp-a/b*y0;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=n-m;b=l;c=x-y;
    if(a<0)a=-a,c=-c;//处理a为负数情况
    exgcd(a,b);
    if(c%g)puts("Impossible");
    else printf("%lld\n",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));//求最小非负整数解
    return 0;
}