P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY（斜率优化入门）

这是一道经典的斜率优化入门题，就用这题来作个总结好了

前言：斜率优化的思想其实和高中数学的线性规划有相似之处，因此建议没学过的同学先了解一下线性规划

首先提一下单调队列优化：

当dp方程为dp[i]=a[i]+b[j]时，这个方程是O(n^2)的

这时用单调队列可以将其优化为O(n)，具体方法这里不再赘述

而dp方程为dp[i]=a[i] \cdot b[j]+c[i]+d[j]时，由于存在a[i] \cdot b[j]这个既有i又有j的项，以上方法就不适用了，这时就需要使用斜率优化

回到本题，设前缀和为sum[i]，由题意易得dp方程：

dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-L-1)^2) (j<i)

但这个方程是O(n^2)的，显然不满足要求，因此需要进行优化

（以下称两点斜率为slope(A,B)）

令a[i]=sum[i]+i，b[i]=sum[i]+i+L+1（这一步是为了简化计算）

则

dp[i]=dp[j]+(a[i]-b[j])^2

展开得

dp[i]=dp[j]+a[i]^2-2 \cdot a[i] \cdot b[j]+b[j]^2

移项得

2 \cdot a[i] \cdot b[j]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2

将b[j]看作x，dp[j]+b[j]^2看作y，这个式子就可以看作一条斜率为2 \cdot a[i]的直线

而对于每个i来说，a[i]都是确定的

接下来的步骤和线性规划很相似

而题目即为找这个截距的最小值 因此，类似线性规划，我们将这条直线从下往上平移，直到过一个符合要求的点时停下，此时截距即为最小 画出图像如下（红色为目标直线）  结合图像分析可知，本题中可能为最优的$P$点（图中用直线连接）组成了一个下凸包（其他题目可能不同，结合图像具体分析） 显然，凸包中相邻两点斜率是单调递增的 而目标直线的斜率$2 \cdot a[i]$也是单调递增的 由图像又易知，满足条件的最优$P_j$为第一个$slope(P_j,P_{j+1}) > 2 \cdot a[i]$的点 因此，我们用单调队列维护这个凸包： 设队首为$head$，队尾为$tail

1. 对队首：

while(slope(P_{head},P_{head+1})<2 \cdot a[i])\quad head++

2. 此时队首的点即为最优，根据它计算出dp[i]

3. 对队尾：

while(slope(P_{tail-1},P_{tail})>slope(P_{tail-1},P_i)\quad tail--

4. 在队尾插入P_i

解释：

若slope(P_j,P_{j+1})<2 \cdot a[i]，显然P_j不是最优通过步骤1删去

因为目标直线斜率单调递增，所以当前删去的P_j一定对之后的dp[i]也不是最优，不会造成影响

而操作3的理由如下：

图中红色的点为P_i

显然，满足操作3的要求时，P_{tail}在凸包内部，一定不是最优，因此可以删去

以上即为本题算法

要注意，初始化时要加入单调队列的点为P_0而不是P_1（否则就变成了第一个物品必须单独装）

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long LL;
const int maxn=50010;
int n,L;
db sum[maxn],dp[maxn];
int head,tail,Q[maxn];
inline db a(int i){return sum[i]+i;}
inline db b(int i){return a(i)+L+1;}
inline db X(int i){return b(i);}
inline db Y(int i){return dp[i]+b(i)*b(i);}
inline db slope(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    head=tail=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(Q[head],Q[head+1])<2*a(i)) ++head;
        dp[i]=dp[Q[head]]+(a(i)-b(Q[head]))*(a(i)-b(Q[head]));
        while(head<tail&&slope(i,Q[tail-1])<slope(Q[tail-1],Q[tail])) --tail;
        Q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",(LL)dp[n]);
    return 0;
}