P1646 [国家集训队]happiness(最小割)

· · 题解

本篇篇幅过长，可能会出不少错，我已经查过一遍了，如果还有错恳请提出，我马上修改。

题意

这题有两种做法：

根据套路，先将所有愉悦值加上，之后减去最小代价。

1.

首先套路地，从源点s向每个点连选文科的价值，从每个点向汇点t连选理科的价值，割那条表示不选哪科，这样可以保证每个人不选文就选理。

接下来考虑如何处理这个限制：
只要点对(i,j)中至少有一个不选文（理科同理），我们就要减去同选文的价值。

我们可以新建一个节点x，从s向x连容量为i,j同选文的价值，之后从x向i,j连容量为inf的边。

我们发现这时如果i,j两点中有一个点理科边没有割（即不选文），那么此时就存在一条s-x-i/j-t这样一条路，我们只能割掉s-x这条边，因为如果割掉i/j-t这条边，那么我们可以不割s-i/j这条边，这与选文科不符，于是我们还是能保证每个人都选且只选了一科。

建出的图如下：

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=110;
const ll inf=1e18;
int n,m,cnt=1,tot=2,S,T;
int head[maxn*maxn*20],cur[maxn*maxn*20],dep[maxn*maxn*20];
ll ans;
struct edge{int to,nxt;ll flow;}e[maxn*maxn*40];
inline int id(int i,int j){return (i-1)*m+j;}
inline void add(int u,int v,ll w)
{
    e[++cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].flow=w;
}
inline void addflow(int u,int v,ll w){add(u,v,w);add(v,u,0);}
inline bool bfs()
{
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    for(int i=0;i<=tot;i++)cur[i]=head[i];
    queue<int>q;
    q.push(S);dep[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to;
            if(dep[y]||e[i].flow<=0)continue;
            dep[y]=dep[x]+1;q.push(y);
        }
    }
    return dep[T]>0;
}
ll dfs(int x,int goal,ll lim)
{
    if(x==goal||lim<=0)return lim;
    ll res=lim;
    for(int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        cur[x]=i;
        int y=e[i].to;
        if(e[i].flow<=0||dep[y]!=dep[x]+1)continue;
        ll tmp=dfs(y,goal,min(res,e[i].flow));
        if(tmp<=0)dep[y]=0;
        res-=tmp;
        e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
        if(res<=0)break;
    }
    return lim-res;
}
inline ll Dinic()
{
    ll res=0;
    while(bfs())res+=dfs(S,T,inf);
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=0,T=n*m+1;
    tot=n*m+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1,x;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(S,id(i,j),x);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1,x;j<=m;j++)
        {   
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(id(i,j),T,x);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1,x;j<=m;j++)
        {   
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(S,++tot,x);
            addflow(tot,id(i+1,j),inf),addflow(tot,id(i,j),inf);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1,x;j<=m;j++)
        {   
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(++tot,T,x);
            addflow(id(i+1,j),tot,inf),addflow(id(i,j),tot,inf);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1,x;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(S,++tot,x);
            addflow(tot,id(i,j+1),inf),addflow(tot,id(i,j),inf);
        }   
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1,x;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);ans+=x;
            addflow(++tot,T,x);
            addflow(id(i,j+1),tot,inf),addflow(id(i,j),tot,inf);
        }       
    printf("%lld",ans-Dinic());
    return 0;
}

2.

常规方法解方程。

还是经典老图：

这张图上面是i，下面是j，左边是文科，右边是理科，这里割哪条边表示不选哪科。

我们开始解方程：

先设a_i表示i选文科的价值，b_i表示i选理科的价值，c_{i,j}表示i,j同选文科的价值，d_{i,j}表示i,j同选理科的价值。

对于点对(i,j)可以列出方程（以下方程按照“同文”，“同理”，“i文j理”，“i理j文”排序）：

\begin{cases}c+d=b_i+b_j+d_{i,j}<1>\\ a+b=a_i+a_j+c_{i,j}<2>\\ b+c+e=b_i+a_j+c_{i,j}+d_{i,j}<3>\\a+d+f=a_i+b_j+c_{i,j}+d_{i,j}<4>\end{cases}

我们通过<3>+<4>-<1>-<2>可以得到：e+f=c_{i,j}+d_{i,j}
令e=f，可得：e=f=\frac{c_{i,j}+d_{i,j}}{2}

我们令a=a_i+\frac{c_{i,j}}{2}，即可解得其他变量的值：

b=a_j+\frac{c_{i,j}}{2} c=b_i+\frac{d_{i,j}}{2} d=b_j+\frac{d_{i,j}}{2}

于是我们就可以建图了，但是由于a,b,c,d,e,f不一定是整数，我们先整体乘2，最后除回去即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=1e9;
int n,m,cnt=1,S,T,ans;
int head[maxn*maxn*20],cur[maxn*maxn*20],dep[maxn*maxn*20];
struct edge{int to,nxt,flow;}e[maxn*maxn*40];
inline int read()
{
    char c=getchar();int res=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
    return res*f;
}
inline int id(int i,int j){return (i-1)*m+j;}
inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].flow=w;
}
inline void addflow(int u,int v,int w){add(u,v,w),add(v,u,0);}
inline bool bfs()
{
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=head[i];
    queue<int>q;
    q.push(S);dep[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to;
            if(dep[y]||e[i].flow<=0)continue;
            dep[y]=dep[x]+1;q.push(y);
        }
    }
    return dep[T]>0;
}
int dfs(int x,int goal,int lim)
{
    if(x==goal||lim<=0)return lim;
    int res=lim;
    for(int i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        cur[x]=i;
        int y=e[i].to;
        if(e[i].flow<=0||dep[y]!=dep[x]+1)continue;
        int tmp=dfs(y,goal,min(res,e[i].flow));
        if(tmp<=0)dep[y]=0;
        res-=tmp;
        e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
        if(res<=0)break;
    }
    return lim-res;
}
inline int Dinic()
{
    int res=0;
    while(bfs())res+=dfs(S,T,inf);
    return res;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    S=0,T=n*m+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(S,id(i,j),x<<1);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(id(i,j),T,x<<1);
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(id(i,j),id(i+1,j),x);addflow(id(i+1,j),id(i,j),x);
            addflow(S,id(i,j),x),addflow(S,id(i+1,j),x);//之前少加。 
        }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(id(i,j),id(i+1,j),x);addflow(id(i+1,j),id(i,j),x);
            addflow(id(i,j),T,x),addflow(id(i+1,j),T,x);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(id(i,j),id(i,j+1),x);addflow(id(i,j+1),id(i,j),x);
            addflow(S,id(i,j),x),addflow(S,id(i,j+1),x);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            int x=read();ans+=x;
            addflow(id(i,j),id(i,j+1),x);addflow(id(i,j+1),id(i,j),x);
            addflow(id(i,j),T,x),addflow(id(i,j+1),T,x);
        }
    printf("%d",ans-(Dinic()>>1));
    return 0;
}