题解 P3812 【【模板】线性基】

upd:补了点东西

用处

没用我学这东西干嘛

• 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
• 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
• 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值

这么点？
还有点性质在下面 可能有点用

性质

• 原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来
• 线性基里任意一个子集的异或和都不为0
• 一个数列可能有多个线性基，但是线性基里数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的

原理&实现

由于我想写简单一点，直接对代码写，所以真正的关于线性代数的那一部分就没写了 妄图掩盖自己不会的事实

约定

以下p[i]表示原序列的线性基数组。

构造

先贴代码 把一个数插入线性基：

inline void ins(LL x) {
    for(R int i=62;i>=0;i--)
        if(x&(1LL<<i)) {
            if(!p[i]) { p[i]=x,cnt++; break; }
            else x^=p[i];
        }
}

人话描述：

• 从高位到低位进行。
• 如果x_{(2)}第i位为1，判断p[i]是否插入，没有就插入并且退出，否则就异或上p[i]去进行下一位操作 。

那么，通过观察这个构造，我们再来感性理解线性基。

• 异或的一个小性质： x \oplus y \oplus y =x 。
• 性质一：观察插入过程，如果没有成功插入，对于x_{(2)}的每一位，要不就是不存在，要不就是异或上p[i]变成了0，那么最终x如果没有插入，那就意味着原有的线性基可以把它异或出来，它就没有插入的必要了。而更显然的，线性基中的数肯定是可以表示的。于是原序列中的每一个数都可以通过线性基表示出来。
• 性质二：假设出现了p[1] \oplus p[2]\oplus p[3]=0,那就会有p[1]\oplus p[2]=p[3]，根据之前的定义，p[3]是不会被插入的。所以也可以得出线性基的任意一个子集异或和都不为0，所以在之后求第k大的时候和一些别的时候，注意特判0。
• 性质三：考虑分类讨论
  • 当所有元素都可以插入线性基的时候，性质三显然成立
  • 设有一个元素x不能插入线性基，那就会有x=0或者是p[a]\oplus p[b]\oplus p[c]=x。显然当x=0的时候无论如何都不能插入线性基，而另一种情况则代表等式p[a]\oplus p[b]\oplus x=p[c]也就是说如果先插入x，p[c]就无法插入了，又因为观察插入过程的时候，每一个插入的数对应着一位，所以x与p[c]相排斥只会影响一位上的问题，那也就代表着线性基里的数可能不同，但是总数肯定是一定的。

于是我们初步理解了线性基

查询一个元素是否可以被异或出来

从高到低，如果这一位为1就异或上这一位的线性基，把1消去，根据性质一，如果最后得到了0，那这个数就可以表示出来。

inline int ask(LL x) {
    for(R int i=62;i>=0;i--) 
        if(x&(1LL<<i)) x^=p[i];
    return x==0;
}

查询异或最大值

按位贪心即可。

inline LL askmx() {
    LL ans=0;
    for(R int i=62;i>=0;i--)
        if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
    return ans;
}

查询异或最小值

其实异或的最小值一般来说就是线性基里的最小元素，因为插入这个元素的时候我们总是尽量让它的高位为0才来插入这一位。但是为什么是“一般”呢？因为有可能会有出现0，得要在插入的时候记下个标记来特判才行。

inline LL askmn() {
    if(zero) return 0;
    for(R int i=0;i<=62;i++)
        if(p[i]) return p[i];
}

查询异或第k小

这个东东我感觉实现还是有那么点点复杂的哈。 首先考虑，要是每一位的选择都不会影响下一位的话，那就可以直接从高到低按位去选择就行了，就类似于二叉树求rank的玩法。但是我们之前建出来的线性基是没有这个性质的。比如p[3]=101_{2},p[0]=1_{2}的时候就炸了。所以我们考虑重构一个数组d来解决这个问题。先上代码：

inline void rebuild() {
    cnt=0;top=0;
    for(R int i=MB;i>=0;i--)
        for(R int j=i-1;j>=0;j--)
            if(p[i]&(1LL<<j)) p[i]^=p[j];
    for(R int i=0;i<=MB;i++) if(p[i]) d[cnt++]=p[i];
}

那么这是在干啥呢，就是在尽力把每个p[i]只留下第i位的1，从而使得各个位之间互不影响，也就是说它的理想效果如下：

p[0] ~0~0~0~0~1 p[1] ~0~0~0~1~0 p[2] ~0~0~1~0~0 p[3] ~0~1~0~0~0 p[4] ~1~0~0~0~0

但有时候并不能达到这个样子，可能会出现如下情况：

p[0] ~0~0~0~0~1 p[1] ~0~0~0~0~0 p[2] ~0~0~1~0~0 p[3] ~0~1~0~0~0 p[4] ~1~0~0~1~0

但是这个时候我们注意到，我们的目的已经达到了，互不影响的任务已经达成了，显然此时为0的p值不会对排名有任何影响，不用管它了。把信息导入到d数组后，查询k小代码不难写出：

inline LL kth(int k) {
    if(k>=(1LL<<cnt)) return -1;
    LL ans=0;
    for(R int i=MB;i>=0;i--)
        if(k&(1LL<<i)) ans^=d[i];
    return ans; 
}

其实我个人觉得这个代码还得要自己理解一下。
背板子也行 但是这样其实还不太对，因为我们并没有考虑0的情况，所以还要去考虑一下0的情况，特判即可。

printf("%lld\n",tmp-zero?kth(tmp-zero):0LL);

查询排名

inline int rank(LL x) {
      int ans = 0;
      for(R int i = cnt - 1; i >= 0; i --)
                  if(x >= d[i]) ans += (1 << i), x ^= d[i];
      return ans + zero; 
}

注：这个d[i]是重建后的线性基。

于是线性基的基本操作就结束啦！

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