题解 P1073 【最优贸易】

· · 题解

分层图状态转移 + SPFA

其实此题可以不用强连通分量缩点，还有更优美的解法，只需40行代码。

主要思想是类似“分层图”，或者类似“DAG”（有向无环图）的状态转移思想，特别是针对这种状态量相互影响的问题，分层图思想很实用。

分析

读完这道题，可以发现这样的事实：

暴力算法不难得出：

我只关心我在哪里买了这个水晶球，在哪里把它卖出去，并且，我能否从起点走到我的买入点，从买入点走到卖出点，然后在走到 n

因此，先枚举两个点再bfs检查能否到达，然后更新答案。

而此题的难点在与你如何知道你是否能够到达买入，卖出，终点（即上两行 并且 后面我说的话），和你能否把所有可能的情况考虑在内。

分层图可以很好的解决这个问题。

由于可以任意走动，所以我们可以建一张图，令图上的边全都是 0 ，表示我的走动对我最终的结果没有影响。

考虑某个点 i ，它买入或者卖出水晶球的花费是 v_i 。

那么： 当我们进行买入操作，我们就建立一条有向边转移到一张新图上，边的大小为 -v_i ，它从第一层的点 i_{0} 指向点 i 所能到达的点（在第二层图上） 指向第二层的点 $i{1}$_ 。而这张新图就是我们的第二层图。

它表示：假如我选择走了这条边，就是我在这个点买了这个水晶球，我不会反悔，并且我接下来考虑在某个点卖它。

当我们进行卖出操作，我们建立一条有向边转移到第三层图上，边的大小为 v_i，它从第二层的点 i_{1} 指向点 i 所能到达的点（在第二层图上） 指向第三层的点 $i{2}$_ 。

它表示：假如我选择走了这条边，就是我在这个点卖了这个水晶球，我不会反悔，并且我接下来考虑走向终点。

注：不能指向 i 下一层到达的点，因为这样意思就变成了：我在这个点买入了水晶球，并且我一定从这个点走出去。多了一层意思就不一样了

可以发现，从第一层图走到第二层图走到第三层图走到终点，这就是一个合法的决策。

对于任何一种决策都可以抽象为我从 1点 走到点 x 买入，然后走到点 y 卖出, 然后走到点 n。而每一种决策都在图中对应了一条从 1_0 到 x_0 到 x_1 到 y_1 到 y_2 到 n_2 的路径。

所以分层图把所有合法的决策都考虑到了。而我们要求的最大收益就正好对应了图上的从 1_0 到 n_2 最长的路径。

注：当然也可以把边权都改成负的求个最短路(因为不存在负环也是可以的)

最后解释一下为什么我们要分层：

因为当你分了层，你就可以从还未买入这个状态，转移到已经买入准备卖出这个状态，然后在转移到从卖出点走向终点的状态。由于有向边的建立，你不能从第二/三层走回第一层图，这保证了你只做一次买卖，而不是无限做买卖，符合了题目的要求

而我们最终的答案，就是求从第一层图的 1 号点，走道第三层图的 n 号点的最长路,如图所示。

到此，这道题就解完了。

UPDATE 2020.10.6

其实2年前我已经退役，抱歉鸽了这么久才更新。感谢在评论中帮我指出错误，提出建议的大佬们。这次更新修改了建模，符号加入了LaTeX, 优化了代码。Hack数据已经可以通过了。如果发现了其他问题，欢迎在评论区中讨论，感谢各位的支持。

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, d[maxn*3], inq[maxn*3];
vector<pair<int, int>> G[maxn*3];

#define t(x,i) (x+i*n)  // t(x,i) 表示第i层的x
// 建立x->y边的函数, 不用加 make_pair是 C++11特性
#define add(x, y) G[t(x,0)].push_back({t(y,0), 0}), G[t(x,1)].push_back({t(y,1),0}), G[t(x,2)].push_back({t(y,2),0})

void spfa(int s) {
    for(int i = 1;i <= n*3;i++) d[i] = INT_MIN; // 这里n*3别漏了, INT_MIN 是C++内置最小值常量
    d[s] = 0; 
    queue<int> Q; inq[s] = true; Q.push(s);
    while(!Q.empty()) {
        int x = Q.front(); Q.pop(); inq[x] = false;
        for(auto [v, len] : G[x])  // C++17 特性, 等价于 int v = G[x][i].first, len = G[x][i].second;
            if(d[v] < d[x] + len) {
                d[v] = d[x] + len;
                if(!inq[v]) { Q.push(v); inq[v] = true; }
            } 
    }
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); // 加速cin, cout
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1, v;i <= n; ++i) {
        cin >> v;
        G[t(i,0)].push_back({t(i,1), -v});
        G[t(i,1)].push_back({t(i,2), v});
    }
    for(int i = 1,x,y,z;i <= m; ++i) {
        cin >> x >> y >> z; add(x, y);
        if(z == 2) add(y, x);
    }
    spfa(t(1,0));
    cout << d[t(n,2)] << endl;
    return 0;
}