题解 P4302 【[SCOI2003]字符串折叠】

• Update 2020-6-5：感谢 @blanc_x 帮忙检查出了一处笔误。

• Update 2020-8-7：感谢 @Garrison 指出错误。

• Update 2021-8-12：修改优化了排版&解答评论问题：

  • 关于 4 重循环：包含函数里的一重，请不要再问这样的问题了。

• Update 2021-10-16：感谢 @0Arctic0 帮助修改了时间复杂度部分，增强语言的严谨性。

讲讲我的做法

题目大意：对一个字符串进行折叠是它长度最小。

看一眼数据范围：哇！字符串长度不超过 100！这是一道省选题，不可能给你太宽裕的时限，所以，题目基本暗示你要用 n^{3} 多一些的算法复杂度。

这是一道最优化的题目，常见求最优化问题的算法比如贪心，模拟，枚举我都想不出什么好办法，唯独觉得像一道区间 dp。

区间 dp 的分析

解释状态

我们用 f_{i,j} 表示 i\sim j 这个区间内最小的长度。

首先，我们可以把 i\sim j 这个区间的字符串拆成 2 部分处理。

就有了这段代码：

for(int l=2;l<=n;l++)
    for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++)
        for(int k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);

当然我用了字符串，然后加空格，这样更加符合人脑思维。

也有同学喜欢用字符数组，我也写了这样的一段代码：

for(int l=2;l<=n;l++){
    for(int i=0,j=i+l-1;j<n;i++,j++){
        for(int k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
    }
}

折叠

至于如何判断能否折叠，我呢用了一个函数——check，来检查一下是否可以折叠。

字符串代码：

bool check(int l,int r,int len){
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(st[i]!=st[(i-l)%len+l])return false;
    return true;
}

字符数组代码：

bool check(char s[],int n,int len){
    for(int i=len;i<n;i++)
        if(s[i]!=s[i%len])return false;
    return true;
}

判断好了是否可以折叠，我们就可以去写状态了，从 i\sim j，判断区间折叠的循环节。

字符串代码：

for(int l=2;l<=n;l++){
    for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){
        for(int k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
        for(int k=i;k<j;k++){
            int len=k-i+1;
            if(l%len!=0)continue;
            if(check(i,j,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);
        }
    }
}

字符数组代码：

for(int l=2;l<=n;l++){
    for(int i=0,j=i+l-1;j<n;i++,j++){
        for(int k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
        for(int k=i;k<j;k++){
            int len=k-i+1;
            if(l%len!=0)continue;
            if(check(s+i,l,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);
        }
    }
}

边界条件以及初始化

刚刚的代码里出现里 m，现在我就来解释一下 m 数组是干什么的。

m_i 的值表示的是数字 i 的位数，因为字符串的长度跟数字的位数有关。

我用的是最简单的方法，for 循环扫，注意：100 也要赋值，万一数据给你 100 个同样的字符。

for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;
for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;
m[100]=3;

现在我们想一想初始化怎么做？

显然，f_{i,i}=1，其他初值设为 ∞。

memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;

现在我们已经做完了所有的步骤，让我们看一看完整代码吧。

字符串代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string st;
int n,m[110],f[110][110];
bool check(int l,int r,int len){
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(st[i]!=st[(i-l)%len+l])return false;
    return true;
}
int main(){
    cin>>st;
    n=st.size();
    st=' '+st;
    for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;
    for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;
    m[100]=3;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=1;
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){
            for(int k=i;k<j;k++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
            for(int k=i;k<j;k++){
                int len=k-i+1;
                if(l%len!=0)continue;
                if(check(i,j,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[1][n]);
    return 0;
}

字符数组代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[110];
int n,m[110],f[110][110];
bool check(char s[],int n,int len){
    for(int i=len;i<n;i++)
        if(s[i]!=s[i%len])return false;
    return true;
}
int main(){
    scanf("%s",s);
    n=strlen(s);
    for(int i=1;i<=9;i++)m[i]=1;
    for(int i=10;i<=99;i++)m[i]=2;
    m[100]=3;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=0;i<n;i++)f[i][i]=1;
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=0,j=i+l-1;j<n;i++,j++){
            for(int k=i;k<j;k++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
            for(int k=i;k<j;k++){
                int len=k-i+1;
                if(l%len!=0)continue;
                if(check(s+i,l,len))f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+2+m[l/len]);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[0][n-1]);
    return 0;
}

时间复杂度

看上去我们套了 4 个循环，然而真的时间复杂度就达到了 n^{4} 吗？其实不是的。

首先 n^{3} 肯定是存在的，那么为什么时间复杂度没有达到 n^{4} 呢！

原因在于我们的 continue，它的复杂度是 \log n。

为什么？

我们进行 check 操作的显然是 l 的因数，而 l 的因数个数<\log{l}。

现实当中的常数还会更小，因为 check 的常数很小，它不是从 1 开始，也没有到 n 结束，并且一旦发现错误后会直接 return。

其实可以把里面的 2 个循环并成一个循环，但为了让大家看的更清楚，就不演示了。