CF235B Let's Play Osu!

你在玩一个叫做 Osu 的游戏（某音游）！我们来简化一下游戏规则。一局游戏中需要点击 $n$ 次。每一次点击有两种结果：正确或失误。我们定义正确为符号 `O`，失误为 `X`，那么整局游戏可以被写成一个长度为 $n$ 的由字符 `X` 或 `O` 组成的字符串。 用这个字符串你可以用以下的方法计算游戏的得分：对于一个极大的连续的 `O` 连击，将连击的次数的平方加入到总得分中（即连续的 `O` 的个数的平方）。举例说明，如果你的游戏序列为 `OOXOOOXXOO`，那么极大连续的 `O` 连击共有三个：`OO`，`OOO`，`OO`，所以你的总得分为 $2^2 + 3^2 + 2^2= 17$ 。如果整局游戏里没有一次成功的点击那么总得分就为 $0$。 你现在知道了第 $i$ 次 ($1\leq i\leq n$)点击成功的概率为 $p_i$，换句话说，字符串中第 $i$ 个字符有 $p_i$ 的概率成为 `O`，有 $1-p_i$ 的概率成为 `X`，你的任务是算出你游戏总得分的期望值。

无

无

$3$ 位字符串一共有 $8$ 种不同的情况。每一种出现的概率为 $0.125$ 所以期望得分是 $\dfrac{(9+4+2+1+4+1+1)}{8}=2.75$。 感谢@[凄魉](/user/45876) 提供的翻译。