P10221 [省选联考 2024] 重塑时光

小 T 正在研究某段时间中所发生的事件。经观测，有 $n$ 个编号为 $1\sim n$ 的事件在这段时间内按顺序依次发生，第 $i$ 个发生的是事件 $p_i$。这个描述事件发生顺序的排列 $p$ 可称为这段时间的**时间线**。 突然，邪恶生物小 S 攻击了这条时间线，将这 $n$ 个事件的发生顺序 $p$ 变为了在所有长为 $n$ 的排列中等概率随机选取的一个排列。不仅如此，小 S 还用剪刀把时间线剪断，通过进行 $k$ 次操作，将排列 $p$ 分割成了 $(k + 1)$ 段。 具体而言，在小 S 进行第 $i$ 次操作时，排列 $p$ 和之前所有插入的剪断点构成了一个长度为 $(n + i - 1)$ 的序列。该序列包括所有相邻元素之间和序列开头、末尾处共有 $(n + i)$ 个插入位置。小 S 将从这些插入位置中等概率随机选取一个位置，插入一个新的剪断点。最后，小 S 从最终被插入的 $k$ 个剪断点处把序列剪开，将排列 $p$ 分割成了 $(k + 1)$ 段序列。这 $(k + 1)$ 段序列中可能有空序列。 为了拯救这条即将毁灭的时间线，小 T 决定把这 $(k + 1)$ 段序列按某种顺序重新拼接成一个长度为 $n$ 的排列，形成一条新的时间线。不过，由于事件之间存在一定的逻辑关系，事件的发生时间之间也存在一些先后顺序要求。经研究，共存在 $m$ 条先后顺序要求 $(u, v)$，要求事件 $u$ 的发生时间必须在事件 $v$ 之前。也就是说，$u$ 在时间线中的出现位置必须在 $v$ 之前。 请你设计程序，计算有多大的概率，存在至少一种重新排列这 $(k + 1)$ 段序列，并将其重新拼接为一条新的时间线的方案，能够使所有的 $m$ 条事件发生时间之间的先后顺序要求都得到满足。 为了避免精度误差，请你输出答案对 $10^9 +7$ 取模的结果。形式化地，可以证明答案可被表示为一最简分数 $\frac{p}{q}$，请你输出一个 $x$ 满足 $0 \le x < 10^9+7$ 且 $qx \equiv p \pmod {10^9+7}$。可以证明在题目条件下这样的 $x$ 总是存在。

无

无

**【样例 1 解释】**  假如事件 $1$ 的发生时间早于事件 $2$，那么无论怎样拼接都是可行方案，一定可以满足要求。否则，只有剪断时间线的位置位于事件 $1$ 和事件 $2$ 的发生时间之间，才能满足要求。答案为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 **【样例 2 解释】** 没有任何事件发生时间之间的先后顺序要求，因此无论怎样拼接都是可行的方案，答案为 $1$。 **【样例 4】** 见附件中的 `timeline4.in/ans`。 **【样例 5】** 见附件中的 `timeline5.in/ans`。 该组样例满足数据范围中的特殊性质 B。 **【样例 6】** 见附件中的 `timeline6.in/ans`。 该组样例满足数据范围中的特殊性质 A。 **【样例 7】** 见附件中的 `timeline7.in/ans`。 **【子任务】** 对于所有测试数据， - $1 \le n \le 15$， - $0 \le m \le \frac{n(n-1)}{2}$，$0 \le k \le n$， - $1 \le u < v \le n$，保证不存在两对 $(u,v)$ 完全相同。 | 测试点 | $n$ | $m$ | $k$ | 特殊性质 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | | $1$ | $\le 3$ | $=n-1$ | $=0$ | B | | $2$ | $\le 5$ | $\le \frac{n(n-1)}{2}$ | $\le n$| 无 | | $3,4$ | $\le 14$ | $=n-1$| $\le n$ | B | | $5$ | $\le 14$ | $=n-1$ | $=0$ | A | | $6$ | $\le 14$ | $=n-1$ | $\le n$ | A | | $7$ | $\le 14$ | $=0$ | $\le n$ | 无 | | $8$ | $\le 14$ | $=\frac{n(n-1)}{2}$ | $\le n$ | 无 | | $9,10$ | $\le 9$ | $\le 15$ | $\le n$ | 无 | | $11$ | $\le 13$ | $\le \frac{n(n-1)}{2}$ | $=0$ | 无 | | $12$ | $\le 13$ | $\le \frac{n(n-1)}{2}$ | $\le n$ | 无 | | $13 \sim 17$ | $\le 14$ | $\le \frac{n(n-1)}{2}$ | $\le n$ | 无 | | $18\sim 20$ | $\le 15$ | $\le \frac{n(n-1)}{2}$ | $\le n$ | 无 | 特殊性质 A：对于每个事件 $x$，至多存在一条先后顺序 $(u, v)$ 使得 $v = x$。 特殊性质 B：对于所有先后顺序 $(u, v)$，均满足 $u = 1$。