P10241 [THUSC 2021] 白兰地厅的西瓜

> 在地底的洞府中住着一个霍比特人。这不是那种让人恶心的洞，脏兮兮湿乎乎的，长满虫子，透着一股子泥腥味儿；也不是那种满是泥沙的洞，干巴巴光秃秃的，没地方好坐，也没好东西好吃。这是一个霍比特人的洞，而霍比特人的洞就意味着舒适。 > > ——《霍比特人》开篇

白兰地厅是最大的霍比特洞之一，位于雄鹿山内部，是白兰地鹿家族的祖宅，数百年来白兰地鹿家族的霍比特人不断扩张白兰地厅的规模，直至其占满了整个山丘。白兰地鹿家族是弗罗多·巴金斯的母族，他十二岁那年，双亲在划船时不幸溺亡，弗罗多便被交由白兰地厅抚养。 白兰地厅有 $n$ 个房间，房间之间以双向圆形通道相连。从任意一个房间出发都可以到达任意另一个房间，但为了避免人们迷失在交错纵横的通道里，白兰地厅经过了精心设计，以保证任意两个房间之间仅有一条路径可达。在炎炎的夏日，白兰地鹿家有贮藏甘甜可口的西瓜的习俗，但由于西瓜个头太大，白兰地鹿家会在每个房间里贮藏恰好一个西瓜。对一个西瓜而言最重要的是它的甜度，$i$ 号房间里的西瓜的甜度为 $a_i$。 弗罗多算是客居于此，因而可以在白兰地厅自由走动，也可以在任意一个他想过夜的房间里过夜。弗罗多每天会从一个房间前往另一个房间，但他生性懒惰，总是会沿着最短的路径来走。经过每个房间时弗罗多都可以品尝那个房间里的西瓜，当然他也可以只是经过而选择忽略西瓜——这也包括了他出发和最终落脚的房间。 弗罗多喜欢吃甜的西瓜，然而众所周知，味蕾感受到的甜度是相对甜度，也就是说，如果弗罗多先吃了一个甜度为 $x$ 的西瓜，紧接着又吃了一个甜度为 $y$ 的西瓜，当 $y > x$ 时，味蕾才会觉得后者是甜的，当 $y \le x$ 时，弗罗多并不会感觉到后者的甜。所以，弗罗多给自己定了一个规矩：**除了每天的第一个西瓜外，他吃的每一个西瓜的甜度都要大于前一个**。 一天清晨，弗罗多突然对白兰地厅里百无聊赖的生活心生倦意，或许只有西瓜才能让他解忧，他想吃很多个西瓜，并且不想违背他的规矩。弗罗多不禁陷入思考……他的一天里总是面临很多选择，从哪一个房间出发、最终抵达哪一个房间、在经过的房间中选择吃哪一些房间的西瓜、并忽略另一些房间里的西瓜……弗罗多想知道，在如此多的选择下，弗罗多的一天最多能吃到多少个西瓜呢？

无

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**【样例解释 #1】** 下图为本样例中的白兰地厅的示意图。黑色直线表示房间之间的通道；左侧墙壁上的数字为房间编号；西瓜内部的数字为其甜度。  弗罗多一天最多能吃到 5 个西瓜，有三种选择可以让他吃到 5 个西瓜。 选择一： - 从 8 号房间出发，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 1）； - 经过 6 号房间，忽略房间里的西瓜； - 经过 1 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 2）； - 经过 2 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 4）； - 经过 4 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 6）； - 抵达 5 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 7）。 选择二： + 从 8 号房间出发，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 1）； + 经过 6 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 3）； + 经过 1 号房间，忽略房间里的西瓜； + 经过 2 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 4）； + 经过 4 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 6）； + 抵达 5 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 7）。 选择三： * 从 9 号房间出发，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 2）； * 经过 6 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 3）； * 经过 1 号房间，忽略房间里的西瓜； * 经过 2 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 4）； * 经过 4 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 6）； * 抵达 5 号房间，并吃掉房间里的西瓜（甜度为 7）。 **【子任务】** 本题有多个子任务，每个子任务可能包含多个测试点，只有通过了一个子任务中的所有测试点才能得到该子任务的分数。 每个子任务的测试点满足一些特殊的限制，具体如下表： |子任务编号|$n \le$|特殊性质|占分| |:----:|:----:|:----:|:----:| |$1$|$100$|无|$10$| |$2$|$1000$|无|$10$| |$3$|$5000$|$a_i \le 4$|$10$| |$4$|$10 ^ 5$|$a_i \le 2$|$10$| |$5$|$10 ^ 5$|树中仅有一个节点度数大于 $1$|$10$| |$6$|$10 ^ 5$|树中所有节点度数不超过 $2$|$10$| |$7$|$10 ^ 5$|无|$40$| 对于所有测试点，保证 $1 \le a_i \le 10^{9}$，$2 \le n \le 10^{5}$。 ### 题目使用协议 来自 清华大学 2021 年全国优秀中学生信息学体验营 (THUSC 2021)。 以下『本仓库』皆指 THUSC 2021 官方仓库（[https://gitlink.org.cn/thusaa/thusc2021](https://gitlink.org.cn/thusaa/thusc2021)） 1. 任何单位或个人都可以免费使用或转载本仓库的题目； 2. 任何单位或个人在使用本仓库题目时，应做到无偿、公开，严禁使用这些题目盈利或给这些题目添加特殊权限； 3. 如果条件允许，请在使用本仓库题目时同时提供数据、标程、题解等资源的获取方法；否则，请附上本仓库地址。 4. 清华大学计算机系保留一切权利。