[UESTCPC 2024] 2-聚类算法

Alice 和 Bob 是两只 $k$ 维空间中的生物。在他们生活的空间中，分布着 $2n$ 个特征点，其中第 $i$ 个特征点的坐标为 $(x_{i,1},x_{i,2},\ldots,x_{i,k})$。 在这个空间中，两点之间的距离被定义为它们之间的曼哈顿距离（即点 $i$ 与点 $j$ 之间的距离 $\text{dist}_{i,j}=\sum_{p=1}^{k}|x_{i,p}-x_{j,p}|$）。 Alice 和 Bob 需要收集这些特征点。他们轮流从这 $2n$ 个点中选走一个点，已经被选走的点不能被再次选走。Alice 先手。Alice 会将她选走的点放入集合 $S_1$，而 Bob 会将他选走的点放入集合 $S_2$。 设一个集合的价值 $\text{val}(S)$ 为其中两两点之间的距离之和。Alice 希望最大化 $\text{val}(S_1)-\text{val}(S_2)$，而 Bob 希望最小化 $\text{val}(S_1)-\text{val}(S_2)$。 若 Alice 和 Bob 都采取最优策略，请你求出最终 $\text{val}(S_1)-\text{val}(S_2)$ 的值会是多少？

第一行输入两个整数 $n,k$ $(1\leq n,k\leq 10^5,n\times k\leq 10^5)$，分别表示特征点的数量的一半和空间的维度数量。 接下来 $2n$ 行，每行 $k$ 个整数 $x_{i,1},x_{i,2},\ldots,x_{i,k}$ $(-10^8\leq x_{i,j}\leq 10^8)$，表示第 $i$ 个特征点的坐标。

输出一个整数，表示 Alice 和 Bob 都采取最优策略的情况下 $\text{val}(S_1)-\text{val}(S_2)$ 的值。 “两两点之间的距离之和”对于每一个无序对只计算一次。

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