P11173 「CMOI R1」We Want To Run / Nilpotent

 $\small\color{white}54^{\text{th}}\text{Problem by ArCu}.$

对于 $n\times n$ 矩阵 $A$，定义 $f(A)$ 为最小的满足 $A^b=O$ 的正整数 $b$，若不存在这样的数则 $f(A)=0$。其中 $O$ 是零矩阵，即所有元素都是 $0$ 的矩阵。 给定 $n,a$，每个元素都是 $[0,a)$ 中整数的 $n\times n$ 矩阵有 $a^{n^2}$ 种。对所有 $a^{n^2}$ 种可能的矩阵 $A$ 求 $f(A)$ 之和。 答案对 $202407031$ 取模。

无

无

$\text{Sample 1 Explanation}:$ 注意到对于任意正整数 $b$，$\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}^b\neq O$，所以 $f\left(\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\right)=0$。而 $\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}^2=O$，所以 $f\left(\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right)=2$。 一共有 $2^4=16$ 种可能的矩阵。其中 $f(A)$ 不为 $0$ 的只有 $$f\left(\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\right)=1,f\left(\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right)=f\left(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\right)=2$$ 答案即为 $1+2+2=5$。 $\text{Details of Subtasks}:$ 所有数据满足 $1\leq n\leq 600,0