P11873 最大拟合

在某一个平行世界里，小威是 Z 校的 ML 大佬，精通于各种机器学习模型。某一天，他在路上观察到了一只活泼的小狗，小狗的叫声忽高忽低，时断时续。小威很快就意识到了，小狗是不是在按照某种模式发出声音？于是乎在那一刹那，他毫不犹豫地认为，小狗发声的模式也可以通过机器学习获得。但是很遗憾，他只记住了某一段连续的小狗的叫声。如果用 $H$ 代表小狗的清吠，$L$ 代表小狗的低吼，那么这段连续的叫声会被建模成一段 $H$ 和 $L$ 交织的序列…… 此外，由于小威认为小狗是一种非常可爱专一但又健忘的动物，因此假定小狗的 attention 机制没有那么强，且在连续叫声中的第 $i$ 个声音只会与第 $i-1$ 和 $i-2$ 个声音有关。为了方便建模，小威认为小狗的每一段连续叫声都会由两声清吠开始。 那么，他的目标是什么呢？虽然他希望能构建出一个能模拟小狗叫声的模型，但是数据少得让他"巧妇难为无米之炊"啊。因此，他觉得，只要能在他记住的唯一的一段连续叫声上最大拟合就可以了。 在数学上，我们假定最后的模型为 $\theta$，可以被视为一个值域为概率的映射，即 $$ \theta: [L, H]^2 \times [L, H, \gamma] \to \mathbb P $$ 其中 $\gamma$ 表示序列的结束标志。例如 $\theta(L, H; L) = 0.6$，表示第 $i - 2$ 个声音是 $L$， 第 $i - 1$ 个声音是 $H$ 的情况下，第 $i$ 个声音是 $L$ 的概率是 $0.6$。 另外，小威把这段包含 $m$ 个声音的叫声序列称为 $s_{[1:m]}$，并把最大拟合目标定义为 $$ \max \prod_{i=3}^{m+1} \theta(s_{i-2}, s_{i-1}; s_{i}) $$ 其中，$s_{m+1}$ 不是任何叫声，仅代表叫声序列的结束标志。 由于最终结果可能过小，因此小威只需要你告诉他最大拟合结果的自然对数就好。

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