P1297 [国家集训队] 单选错位

gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。 试卷上共有 $n$ 道单选题，第 $i$ 道单选题有 $a_i$ 个选项，这 $a_i$ 个选项编号是 $1,2,3,\ldots,a_i$，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。 lc 采取的策略是每道题目随机写上 $1 \sim a_i$ 的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ 道题目。gx 则是认认真真地做完了这 $n$ 道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 $i$ 道题目的答案抄到了答题纸上的第 $i+1$ 道题目的位置上，特别地，第 $n$ 道题目的答案抄到了第 $1$ 道题目的位置上。 现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。 我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

无

无

【样例说明】 | 正确答案 | gx的答案 | 做对题目 | 出现概率 | | :----------: | :----------: |:----------: | :----------: | | $\{1,1,1\}$ | $\{1,1,1\}$ | $3$ | $\frac16$ | | $\{1,2,1\}$ | $ \{1,1,2\}$ | $1$ | $\frac16$ | |$\{1,3,1\}$ | $ \{1,1,3\} $ | $1$ | $\frac16$ | |$\{2,1,1\}$ | $ \{1,2,1\} $ | $1$ | $\frac16$| |$\{2,2,1\}$ | $ \{1,2,2\}$ | $1$ | $\frac16$ | |$\{2,3,1\}$ | $\{1,2,3\} $ | $0$ | $\frac16$ | $a = \{2,3,1\}$。 共有 $6$ 种情况，每种情况出现的概率是 $\frac{1}{6}$，gx 期望做对 $\frac{3+1+1+1+1+0}6 = \frac76$ 题。（相比之下，lc 随机就能期望做对 $\frac{11}6$ 题） 对于 $30\%$ 的数据，$n\leq 10, C\leq 10$。 对于 $80\%$ 的数据，$n\leq 10^4, C\leq 10$。 对于 $90\%$ 的数据，$n\leq 5\times 10^5, C\leq 10^8$。 对于 $100\%$ 的数据，$2\leq n\leq 10^7, 0\leq A,B,C \leq 10^8$，$1 \leq a_i \leq 10^8$。