P2304 [NOI2015] 小园丁与老司机
题目描述
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 $n$ 棵 许愿树，编号 $1,2,3,\dots,n$ ，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 $i$ 棵树 $(1 \leq i \leq n)$ 位于坐标 $(x_i, y_i)$ 。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 $(0,0)$ 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：
1.为左、右、上、左上 $45\degree$、右上 $45\degree$ 五个方向之一。
2.沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后，Mr.P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。
不幸的是，小园丁 Mr.S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr.P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。
在 Mr.P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr.P 一样任选一种最优策略行动。Mr.S 认为非左右方向（即上、左上 $45\degree$、右 上 $45\degree$ 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：
1.从原点或任意一棵树出发。
2.只能向上、左上 $45\degree$、右上 $45\degree$ 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。
3.只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以 被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题：
1.请给 Mr.P 指出任意一条最优路线。
2.请告诉 Mr.S 最少需要租用多少台轧路机。
输入格式
无
输出格式
无
说明/提示
#### 样例 1 解释
最优路线共 $2$ 条，可许愿 $3$ 次：$(0,0) \rightarrow (1,1) \rightarrow (-1,1) \rightarrow (-2,2)$ 或 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。
至少 $3$ 台轧路机，路线是 $(0,0) \rightarrow (1,1)$，$(-1,1) \rightarrow (-2,2)$ 和 $(0,0) \rightarrow (0,8) \rightarrow (0,9) \rightarrow (0,10)$。
#### 样例 2 解释
最优路线唯一：$(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (-2,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)$，可许愿 $4$ 次。其中在 $(0,1)$ 许愿后，从 $(-2,1)$ 出发沿着向右的方向能够到达的最近的未许愿过的树是 $(2,1)$，所以可以到达 $(2,1)$。
而如果沿着 $(0,0) \rightarrow (0,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (-2,1)$ 的方向前进，此时 $(-2,1)$ 右边所有树都是许愿过的，根据题目条件规定，停止前进。故无法获得最优解。
$(0,0) \rightarrow (0,1)$ 与 $(2,1) \rightarrow (3,2)$ 会留下非左右方向车辙印，需 $2$ 台轧路机。
