P3226 [HNOI2012] 集合选数

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出 $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 的所有满足以下条件的子集：若 $x$ 在该子集中，则 $2x$ 和 $3x$ 不能在该子集中。 同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 $n \le 10^5$，如何求出 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 $10^9+1$ 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

无

无

**【样例解释】** 有 $8$ 个集合满足要求，分别是空集，${1}$，$\{1,4\}$，$\{2\}$，$\{2,3\}$，$\{3\}$，$\{3,4\}$，$\{4\}$。 **【数据范围】** 对于 $30 \%$ 的数据，$n \le 20$。 对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le n \le 10^5$。