P4438 [HNOI/AHOI2018] 道路

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有 $n-1$ 个城市和 $n$ 个乡村，其中城市从 $1$ 到 $n-1$ 编号，乡村从 $1$ 到 $n$ 编号，且 $1$ 号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。 对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市 $i$， 通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比 $i$ 大的城市。没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。 W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修 $n-1$ 条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调查的数据，小 W 对每个乡村制定了三个参数，编号为 $i$ 的乡村的三个参数是 $a_i$，$b_i$ 和 $c_i$。假设从编号为 $i$ 的乡村走到首都一共需要经过 $x$ 条未翻修的公路与 $y$ 条未翻修的铁路，那么该乡村的不便利值为： $$c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)$$ 在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修 $n-1$ 条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小 W 自然希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

无

无

【样例解释 1】  如图所示，我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村；用绿色、红色箭头分别表示 公路、铁路；用加粗箭头表示翻修的道路。 一种不便利值等于54的方法是：翻修通往城市2和城市5的铁路，以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路，用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路，那么： 编号为1的乡村到达首都的路线为：-1 ∗→ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路，代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9； 编号为2的乡村到达首都的路线为：-2 ⇒ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路，代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10； 编号为3的乡村到达首都的路线为：-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9； 编号为4的乡村到达首都的路线为：-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路，代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12； 编号为5的乡村到达首都的路线为：-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8； 编号为6的乡村到达首都的路线为：-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路，代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6； 总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。 【样例解释 2】 在这个样例中，显然应该翻修所有公路。 【数据范围】 一共20组数据，编号为1 ∼ 20。 对于编号$\le 4$的数据，$n \le 20$； 对于编号为5 ∼ 8的数据，$a_i,b_i,c_i \le 5$，$n \le 50$； 对于编号为9 ∼ 12的数据，$n \le 2000$； 对于所有的数据，$n \le 20000$，$1 \le a_i,b_i \le 60$，$1 \le c_i \le 10^9$，$s_i,t_i$是$[-n,-1] \cup (i,n - 1]$内的整数，任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。