P4454 [CQOI2018] 破解D-H协议

Diffie-Hellman 密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定**密钥**的情况下，通过**不安全**（可能被窃听）**的信道**确定一个**安全的密钥** $K$，用于加密之后的通讯内容。

假定通讯双方名为 Alice 和 Bob，协议的工作过程描述如下（其中 $\bmod$ 表示取模运算）： 1. 协议规定一个**固定的**质数 $P$，以及模 $P$ 的一个原根 $g$。**$\boldsymbol P$ 和 $\boldsymbol g$ 的数值都是公开的，无需保密。** 2. Alice 生成一个随机数 $a$，并计算 $A=g^a\bmod P$，将 $A$ 通过不安全信道发送给 Bob。 3. Bob 生成一个随机数 $b$，并计算 $B=g^b\bmod P$，将 $B$ 通过不安全信道发送给 Alice。 4. Bob 根据收到的 $A$ 计算出**密钥** $K=A^b \bmod P$，而 Alice 根据收到的 $B$ 计算出 $K=B^a\bmod P$。 5. 双方得到了相同的 $K$，即 $g^{ab} \bmod P$。$K$ 即之后通讯的加密密钥。 可见，这个过程中可能被窃听的只有 $A,B$，而 $a,b,K$ 是保密的。并且根据 $A,B,P,g$ 这 $4$ 个数，不能轻易计算出 $K$，因此 $K$ 可以作为一个安全的密钥。 当然安全是相对的，该协议的安全性取决于数值的大小，通常 $a,b,P$ 都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如果 Alice 和 Bob 编程时偷懒，为了避免实现大数运算，选择的数值都小于 $2^{31}$，那么破解他们的密钥就比较容易了。 $T$ 次给定窃听得到的 $A,B$，你需要尝试破解出**密钥** $K$。

无

无

对于 $30\%$ 的数据，$2\le A,B,P\le 1000$； 对于 $100\%$ 的数据，$2\le A,B