P5206 [WC2019] 数树

白兔喜欢树。 白云喜欢数数。 有 $n$ 只鼠，白兔用 $n - 1$ 根蓝色绳子把它们连成了一棵树，每根蓝色绳子连着两只鼠，白云用 $n - 1$ 根红色绳子把它们连成了一棵树，每根红色绳子连接着两只鼠。 白云要给予每只鼠一个数。这个数可以是 $[1, y]$ 中的任意一个整数。 白兔给了白云一个要求：对于两只鼠 $p, q$，若存在一条连接这两只鼠的路径同时属于这两棵树，则 $p$ 和 $q$ 必须被给予相同的整数。存在一条路径同时属于这两棵树指的是：存在一个序列 $(a_1 = p, a_2, \cdots , a_m = q)$，使得：对于所有 $i \in [1, m - 1]$，都有 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 既有一根红色绳子直接相连也有一根蓝色绳子直接相连。 白云想知道，她有多少种给予数的方案呢？ 鼠在不停地挣扎，想要摆脱绳子的束缚。白云还没有思考出来，鼠便把红色绳子都咬断了。 白兔有些气恼，但是他还是想要知道答案。他便问白云：对于所有红色绳子的连接方案，答案的总和（即求所有红色绳子连接方案的给予数方案之和）是多少？ 鼠在不停地挣扎，想要摆脱绳子的束缚。白云还没有思考出来，鼠便把蓝色绳子也咬断了。 白兔有些气恼，但是他还是想要知道答案。他便问白云：对于所有红色和蓝色绳子的连接方案，答案的总和（即求所有红色和蓝色绳子连接方案的给予数方案之和）是多少？两个方案不同当且仅当存在至少一对鼠，在两种方案中，这两只鼠之间直接连接的绳子不同（两只鼠之间连接绳子的可能性有 4 种：没有绳子直接连接，只有红色绳子直接连接，只有蓝色绳子直接连接，两种颜色的绳子均直接连接）。 白云哭了。

本题包含三个问题： - 问题 0：已知两棵 $n$ 个节点的树的形态（两棵树的节点标号均为 $1$ 至 $n$），其中第一棵树是红树，第二棵树是蓝树。要给予每个节点一个 $[1, y]$ 中的整数，使得对于任意两个节点 $p, q$，如果存在一条路径 $(a_1 = p, a_2, \cdots , a_m = q)$ 同时属于这两棵树，则 $p, q$ 必须被给予相同的数。求给予数的方案数。 - 存在一条路径同时属于这两棵树的定义见「题目背景」。 - 问题 1：已知蓝树，对于红树的所有 $n^{n-2}$ 种选择方案，求问题 0 的答案之和。 - 问题 2：对于蓝树的所有 $n^{n-2}$ 种选择方案，求问题 1 的答案之和。 提示：$n$ 个节点的树一共有 $n^{n-2}$ 种。 在不同的测试点中，你将可能需要回答不同的问题。我们将用 $\text{op}$ 来指代你需要回答的问题编号（对应上述 0、 1、 2）。 由于答案可能很大，因此你只需要输出答案对 $998, 244, 353$ 取模的结果即可。

无

无

#### 样例说明 1 两棵树相同，所以任意两个点都必须被给予相同的数，方案数为 $2$。 #### 样例说明 2 红树共有三种可能的情况： 1. 包含绳子 $(1, 2)$（表示连接 $1, 2$ 号鼠的绳子，下同）、$(2, 3)$：此时任意两只鼠都必须被给予相同的数，问题 0 的答案为 $2$。 2. 包含绳子 $(1, 2)$、$(1, 3)$：此时 $1$ 号鼠和 $2$ 号鼠必须被给予相同的数，问题 0 的答案为 $2 \times 2 = 4$。 3. 包含绳子 $(2, 3)$、$(1, 3)$：此时 $2$ 号点和 $3$ 号点必须被给予相同的数，问题 0 的答案为 $2 \times 2 = 4$。 综上，问题 1 的答案为 $2 + 4 + 4 = 10$。 #### 样例说明 3 蓝树一共有三种可能的情况。不难发现，对于蓝树的每一种情况，求得的问题 1 的答案都是 $10$。所以答案为 $10 \times 3 = 30$。  ## 洛谷按照集训队分值赋分