P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种**烹饪方法**，且会使用 $m$ 种**主要食材**做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 \sim n$ 编号，对主要食材从 $1 \sim m$ 编号。 Emiya 做的每道菜都将使用**恰好一种**烹饪方法与**恰好一种**主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜（$1 \leq i \leq n$、$1 \leq j \leq m$），这也意味着 Emiya 总共会做 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}$ 道不同的菜。 Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言： - Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做**至少一道菜**，即 $k \geq 1$ - Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的**烹饪方法互不相同** - Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种**主要食材**至多在**一半**的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜）中被使用 这里的 $\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数。 这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。 Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。

无

无

【样例 1 解释】 由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。 符合要求的方案包括： - 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜 - 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜 - 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜 因此输出结果为 $3 \bmod 998,244,353 = 3$。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。 【样例 2 解释】 Emiya 必须至少做 2 道菜。 做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。 做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。 因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。 【数据范围】 | 测试点编号 | $n=$ | $m=$ | $a_{i,j}