P5665 [CSP-S2019] 划分

2048 年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 $n$ 组数据，数据从 $1 \sim n$ 编号，$i$ 号数据的规模为 $a_i$。 小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 $u$ 的数据，该程序的**运行时间**为 $u^2$。然而这个程序运行完一组规模为 $u$ 的数据之后，它将在任何一组规模**小于** $u$ 的数据上运行错误。样例中的 $a_i$ 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内数据编号**连续**，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的**规模之和**，小明将让新数据的规模能够递增。 也就是说，小明需要找到一些分界点 $1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n$，使得 $$ \sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i $$ 注意 $p$ 可以为 $0$ 且此时 $k_0 = 0$，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。 小明希望他的程序在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是**最小化** $$ (\sum_{i=1}^{k_1} a_i)^2 + (\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i)^2 + \cdots + (\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i)^2 $$ 小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 $n$ 和 $a_i$，请你求出最优划分方案下，小明的程序的最小运行时间。

无

无

【样例 1 解释】 最优的划分方案为 $\{5,1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}$。由 $5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9$ 知该方案合法。 答案为 $(5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247$。 虽然划分方案 $\{5\}, \{1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}$ 对应的运行时间比 $247$ 小，但它不是一组合法方案，因为 $5 \gt 1$。 虽然划分方案 $\{5\}, \{1,7\}, \{9\}, \{9\}$ 合法，但该方案对应的运行时间为 $251$，比 $247$ 大。 【样例 2 解释】 最优的划分方案为 $\{5\}, \{6\}, \{7\}, \{7\}, \{4,6,2\}, \{13\}, \{19,9\}$。 【数据范围】 | 测试点编号 | $n \leq$ | $a_i \leq$ | $type =$ | | :----------- | :----------- | :----------- | :----------- | | $1 \sim 3$ | $10$ | $10$ | 0 | | $4 \sim 6$ | $50$ | $10^3$ | 0 | | $7 \sim 9$ | $400$ | $10^4$ | 0 | | $10 \sim 16$ | $5000$ | $10^5$ | 0 | | $17 \sim 22$ | $5 \times 10^5$ | $10^6$ | 0 | | $23 \sim 25$ | $4 \times 10^7$ | $10^9$ | 1 | 对于$type=0$的所有测试点,保证最后输出的答案$\leq 4 \times 10^{18}$ 所有测试点满足：$type \in \{0,1\}$，$2 \leq n \leq 4 \times 10^7$，$1 \leq a_i \leq 10^9$，$1 \leq m \leq 10^5$，$1 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9$，$0 \leq x,y,z,b_1,b_2 \lt 2^{30}$。