P5675 [GZOI2017] 取石子游戏

GZOI2017 D1T1

Alice 和 Bob 在玩一个古老的游戏。现在有若干堆石子，Alice 和 Bob 轮流取，每次可以选择其中某一堆的石子中取出任意颗石子，但不能不取，谁先取完使得另一个人不能取了算赢。 现在场地上有 $N$ 堆石子，编号为 $1$ 至 $N$。Alice 很快发现了这个游戏存在一些固定的策略。阴险的 Alice 想赢得这场比赛就来找到主办方你，希望你在这 $N$ 堆石子中选出若干堆石子作为最后游戏用的石子堆并使得 Alice 能获得胜利。你自然不想让 Alice 得逞，所以你提出了一个条件：Alice 在这个游戏中第一次取的那堆石子的编号需要你来指定（仅指定取的石子堆编号，不指定第一次取多少个，这个指定的石子堆必然包含在最后游戏用的石子堆中）。 现在你很好奇，你想算算有多少种方案让 Alice 不能获胜。注意，即使选出的石子堆的编号的集合完全相同，指定第一次取的石子堆的编号不同，也认为方案是不同的。

无

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【样例 $1$ 解释】 第一种：选编号 $1$ 和编号 $2$，指定编号 $1$。 第二种：选编号 $1$ 和编号 $3$，指定编号 $1$。 第三种：选编号 $1$、编号 $2$ 和编号 $3$，指定编号 $2$。 第四种：选编号 $1$、编号 $2$ 和编号 $3$，指定编号 $3$。 第五种：选编号 $2$ 和编号 $3$，指定编号 $2$。 【数据约束】 | 数据编号 | $N$ | 每堆石子数量 | | :-: | :-: | :-: | | $1$ | $\le 5$ | $\le 5$ | | $2$ | $\le 10$ | $\le 10$ | | $3$ | $\le 100$ | $\le 100$ | | $4$ | $\le 200$ | $\le 200$ | | $5$ | $\le 200$ | $\le 200$ |