[COCI2021-2022#3] Kućice

题目描述

圣诞集市中有 $n$ 个摊位。每个摊位可以抽象为平面直角坐标系中的一个点,其坐标为 $x_i,y_i$。 现在每个摊位均有 $50\%$ 的概率违规。所有违规的摊位会被一个栅栏圈住,其中栅栏的形状为所有违规摊位对应的点组成的凸包的边界。当然,一些没有违规的无辜摊位也有可能被圈住。当违规摊位数量小于 $3$ 时,凸包显然会退化为线段、点或空集。 求被圈住摊位的期望数量。可以证明答案可以被表示成 $\frac{m}{2^n}$,其中 $m$ 为正整数。因此只需要输出 $m$ 对 $10^9+7$ 取模后的值即可。

输入输出格式

输入格式


第一行,一个正整数 $n$,表示摊位的数量。 接下来的 $n$ 行,每行两个整数 $x_i,y_i$,表示摊位的坐标。数据保证不存在坐标相同的摊位且任意三个摊位都不共线。

输出格式


输出 $m$ 对 $10^9+7$ 取模后的值。

输入输出样例

输入样例 #1

1
5 5

输出样例 #1

1

输入样例 #2

3
-1 -1
1 -1
0 1

输出样例 #2

12

输入样例 #3

5
0 0
-1 0
2 -1
3 2
0 3

输出样例 #3

83

说明

**【样例 1 解释】** 唯一的摊位违规的概率为 $50\%$,故期望值为 $\frac{1}{2}$。 **【样例 2 解释】** 违规的情况共有 $8$ 种,而每种情况下被圈住的摊位数分别为 $0,1,1,1,2,2,2,3$。故期望值为 $\frac{1}{8}(0+1+1+1+2+2+2+3)=\frac{12}{8}$。 **【数据规模与约定】** **本题采用子任务捆绑测试。** - Subtask 1(10 pts):每个点都在由所有点组成的凸包的边界上,同时 $n \ge 3$。 - Subtask 2(30 pts):除了第一个点外,每个点都在由所有点组成的凸包的边界上,同时 $n \ge 4$,$x_1=y_1=0$。 - Subtask 3(10 pts):$1 \le n \le 15$。 - Subtask 4(30 pts):$1 \le n \le 100$。 - Subtask 5(30 pts):无特殊限制。 对于 $100\%$ 的数据,$1 \le n \le 1000$,$|x_i|,|y_i| \le 10^6$。 **【提示与说明】** **题目译自 [COCI 2021-2022](https://hsin.hr/coci/) [CONTEST #3](https://hsin.hr/coci/contest3_tasks.pdf) _Task 5 Kućice_。** **本题分值按 COCI 原题设置,满分 $110$。**