P8993 [北大集训 2021] 算术

CTT2021 D4T1

今天，生活在 14 进制世界的小 Q 学习了一种判断给定的大数是否是 9 的倍数的方法。我们以 $(1BB40)_{14} = (70812)_{10}$ 作为例子描述该方法，下面设 $b=14$，$p=9$，下面的方法中所有的运算在 $b$ 进制下进行。 1. 从低位往高位，将每个连续的 $k=2$ 位划分为一段。例子中，$(1BB40)_{b}$ 被划分为 $1 \mid BB \mid 40$ 三段。 2. 从低位往高位从 $0$ 开始给每一段编号。例子中，第 $0$ 段为 $40$，第 $1$ 段为 $BB$，第 $2$ 段为 $1$。 3. 对于第 $i$ 段计算出值 $b_i$：设第 $i$ 段在 $b$ 进制下的值为 $a_i$，如果 $i$ 为奇数则 $b_i$ 为满足 $(a_i+b_i) \equiv 0 \pmod p$ 的最小非负整数 $b_i$，如果 $i$ 为偶数则 $b_i$ 为满足 $(a_i-b_i) \equiv 0 \pmod p$ 的最小非负整数 $b_i$。例子中有 $b_0=2$，$b_1=6$，$b_2=1$。 4. 将 $b_i$ 按照**下标大的在低位，下标小的在高位**的顺序顺次拼接，形成一个 $b$ 进制数并输出。例子中输出结果为 $(261)_{b} = (477)_{10}$。容易验证 $477$ 和 $70812$ 都是 $p$ 的倍数。 可以证明上述方法输入和输出的数要么同时是 $p$ 的倍数，要么同时不是 $p$ 的倍数。而且数字的位数变少了，所以多做几次就可以得到一个很小的数，然后就可以简单地判断了。 小 Q 深深地被这个算法吸引了，所以他想给出一个 $b,p$ 不同于 $14,9$ 时的通用方法。但是他发现，当上面的方法中 $b,p$ 的取值变化时，$k$ 不一定等于 $2$：有时会是 $1$，有时会大于 $2$，有时甚至不存在满足条件的 $k$。所以对于给定的 $b, p$，小 Q 想知道在 $b$ 进制下上述方法的第一步中**正整数** $k$ 的最小值，使得无论输入如何，输入和对应的输出要么同时是 $p$ 的倍数，要么同时不是 $p$ 的倍数，或者报告这样的 $k$ 不存在。 注意 $p$ 不一定是质数。

无

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| 子任务编号 | $2\leq p\leq$ | $1\leq T\leq$ | 分值 | | :--------: | :-----------: | :-----------: | :--: | | $1$ | $3$ | $10$ | $5$ | | $2$ | $10$ | $10$ | $5 $ | | $3$ | $10^2$ | $10^2$ | $5$ | | $4$ | $10^4$ | $10^2$ | $11$ | | $5$ | $10^6$ | $10^2$ | $11 $ | | $6$ | $10^8$ | $10^3$ | $11$ | | $7$ | $10^{10}$ | $10^3$ | $11 $ | | $8$ | $10^{12}$ | $10^3$ | $7$ | | $9$ | $10^{14}$ | $10^4$ | $17$ | | $10$ | $10^{15}$ | $10^5$ | $17 $ | 为了选手们的身心健康，下发文件中的 `down.cpp` 中实现了大整数取模乘法函数 `mul(A, B, P)`，你需要保证 $A,B \in [0,P-1]$，函数会返回 $(A \times B) \bmod P$。你可以自由选择使用或者不使用这份代码。**其中需要保证你调用时 $A,B,P$ 均不超过 $10^{15}$。**