P9119 [春季测试 2023] 圣诞树

众所周知，3202 年的圣诞节快要到了，因此小 Ω 买了一棵圣诞树和一根挂满了彩灯的电线，并打算把这根电线缠绕在圣诞树上。 圣诞树可以视作一个二维平面上有 $n$ 个顶点的**凸多边形**。这 $n$ 个顶点可以用于固定电线，且按**逆时针顺序**依次编号为 $1, \ldots, n$。其中第 $i$ 个顶点的坐标为 $(x_i, y_i)$，记其中 **$y$ 坐标最大**的顶点的编号为 $k$（若有多个满足条件的顶点，则取**编号最小**的）。不保证编号为 $1$ 的顶点的 $x$ 坐标最小。 下图左侧展示了一棵圣诞树的轮廓，其中 **$y$ 坐标最大**的顶点的编号为 $k = 5$。  小 Ω 希望用挂满了彩灯的电线装饰这棵圣诞树。出于美观性考虑，她希望这根电线**经过所有顶点恰好一次**；为了连接电源，这根电线需要**从 $(x_k, y_k)$ 出发**。形式化地，她需要决定一个 $1, \cdots, n$ 的**排列** $p_1, \cdots, p_n$，满足 $p_1 = k$，随后这根电线从 $(x_{p_1}, y_{p_1})$ 出发，依次经过 $(x_{p_2}, y_{p_2}), \cdots, (x_{p_n}, y_{p_n})$。此时，电线长度为 $\sum_{i=1}^{n-1}{\operatorname{d}((x_{p_i}, y_{p_i}), (x_{p_{i+1}}, y_{p_{i+1}}))}$。 - 其中 $\operatorname{d}$ 为平面上的**欧几里得距离**，即 $\operatorname{d}((x, y), (x', y')) = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2}$。 上图右侧展示了一种可能的方案，此时对应的排列为 $5, 4, 8, 6, 3, 9, 1, 7, 2$。 为了节省成本，她希望你能在所有可能的方案中，给出一种使电线长度**最短**的方案。如果使电线长度最短的方案不唯一，你只需要求出其中**任意**一种。 **考虑到浮点数产生的误差，你输出的方案与最优方案的线段长度的相对误差或绝对误差不超过 $10^{-10}$ 时即认为答案正确**。

无

无

**【样例 1 解释】** 这一样例中只有下图所示的两种方案，对应排列分别为 $3, 1, 2$ 或 $3, 2, 1$，电线长度分别为 $3 + \sqrt{2}$ 和 $3 + \sqrt{5}$，而 $3 + \sqrt{2} < 3 + \sqrt{5}$。 因此答案对应的排列为 $3, 1, 2$。  **【数据范围】** 对于所有数据，保证 $3 \le n \le 1000$；$|x_i|, |y_i| \le 10^7$。 |测试点编号|$n \le$|特殊性质| |:-:|:-:|:-:| |1, 2|$4$|无| |3, 4, 5, 6|$9$|无| |7, 8, 9, 10, 11, 12|$18$|无| |13, 14|$10^3$|A| |15, 16|$10^3$|B| |17, 18, 19, 20|$10^3$|无| 特殊性质 A：保证存在正整数 $m \ge n$，使得输入的 $n$ 个顶点对应正 $m$ 边形中连续的一段顶点。 特殊性质 B：保证 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，且 $y_1 > y_2 > \cdots > y_n$。