[春季测试 2023] 密码锁

寒假过后，小 I 回到学校，发现自己忘记了自行车锁的密码，于是请你帮忙。 小 I 自行车上的密码锁有 $n$ 个拨圈，每个拨圈有 $k$（$k \leq 4$）格。密码锁上的每一格都包含一个正整数，其中第 $j$ 个拨圈的第 $i$ 格上的正整数为 $a _ {i, j}$。  （一个锁的例子，其中 $k = n = 3$，每列表示一个拨圈，拨圈的格子从上往下编号。） 你可以对每个拨圈拨若干次（也可以不拨），每拨一次拨圈，它的格子就会进行一次轮换。形式化地，拨第 $j$ 个拨圈一次，则会让第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格的数字移动到第 $((i \bmod k) + 1)$ 格，其他拨圈不动。  （一个拨动拨圈的例子，对左侧的锁拨一次第二个拨圈得到右侧的锁。） 为了方便记忆，小 I 设定密码时要求同一行上的数字尽可能靠近。 形式化地，对于 $1 \leq i \leq k$，定义密码锁第 $i$ 行的松散度为 $$ c(i) = \max \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j} - \min \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j} $$ 同时定义整个密码锁的松散度为 $$ C = \max \limits _ {1 \leq i \leq k} c(i) $$ 因为能开锁的状态满足 $C$ 尽可能小，因此小 I 希望你找出最小的 $C$ 值。

**本题有多组测试数据，题目保证一个测试点中所有测试数据的 $k$ 相同。** 第一行包含两个正整数 $T, k$，分别表示测试数据组数和密码锁拨圈上的格数。 接下来一共 $T$ 组数据，每组数据格式如下： 第一行包含一个正整数 $n$，表示拨圈数。 接下来 $k$ 行，每行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数 $a _ {i,j}$ 表示密码锁第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格对应的数字。 **注意输入的矩阵中每一列对应一个拨圈，而非每一行对应一个拨圈。**

对于每组数据，输出一行包含一个整数，表示所有方案中 $C$ 的最小值。

2 3
3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
2
1 2
2 1
1 2

0
1

见选手目录下的 lock/lock2.in。

见选手目录下的 lock/lock2.ans。

见选手目录下的 lock/lock3.in。

见选手目录下的 lock/lock3.ans。

见选手目录下的 lock/lock4.in。

见选手目录下的 lock/lock4.ans。

见选手目录下的 lock/lock5.in。

见选手目录下的 lock/lock5.ans。

**【样例 1 解释】** 第一组样例对应题目描述中的例子。 在拨第二个拨圈一次后，每个拨圈都是 $\{1, 2, 3\}$，此时松散度为 $0$。 容易证明无论如何松散度都不可能小于 $0$，因此输出 $0$。 以下四个样例分别对应 $k = 1, 2, 3, 4$ 的情况，且样例中 $n$ 的取值有一定梯度。 **【数据范围】** 设 $\sum n$ 为一个测试点中所有测试数据的 $n$ 的和。 对于所有数据，保证 $1 \leq T$，$1 \leq k \leq 4$，$1 \leq a _ {i ,j} \leq 3 \times 10 ^ 4$。 本题分为两类测试点。 第一类测试点共有十二个，保证 $k \leq 3$，$n \leq 5 \times 10 ^ 4$，$\sum n \leq 1.5 \times 10 ^ 5$。 | 测试点编号 | $n \leq$ | $\sum n \leq $ | $k = $ | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $1$ | $20$ | $100$ | $1$ | | $2$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $1$ | | $3$ | $20$ | $100$ | $2$ | | $4$ | $100$ | $1000$ | $2$ | | $5$ | $2000$ | $10 ^ 4$ | $2$ | | $6$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $2$ | | $7$ | $10$ | $50$ | $3$ | | $8$ | $50$ | $500$ | $3$ | | $9$ | $300$ | $3000$ | $3$ | | $10$ | $3000$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $3$ | | $11$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $1.2 \times 10 ^ 5$ | $3$ | | $12$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $3$ | 第二类测试点共有八个，保证 $k = 4$，$n \leq 10 ^ 4$， $\sum n \leq 3 \times 10 ^ 4$。 | 测试点编号 | $n \leq$ | $\sum n \leq $ | $k = $ | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $13$ | $10$ | $50$ | $4$ | | $14$ | $50$ | $500$ | $4$ | | $15$ | $200$ | $2000$ | $4$ | | $16$ | $500$ | $4000$ | $4$ | | $17$ | $2500$ | $10 ^ 4$ | $4$ | | $18$ | $5000$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $4$ | | $19$ | $10 ^ 4$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $4$ | | $20$ | $10 ^ 4$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $4$ | **【后记】** 你花了九牛二虎之力算出 $C$ 的值之后，小 I 却告诉你他已经找开锁师傅用锤子暴力破解了。在你的百般劝说下，小 I 承诺以后锁车不用有大于等于一万个拨圈的密码锁。