P9870 [NOIP2023] 双序列拓展

称某个序列 $B = \{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ 是另一个序列 $A = \{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$ 的**拓展**当且仅当存在**正整数**序列 $L = \{l_1,l_2,\cdots,l_m\}$，将 $a_i$ 替换为 $l_i$ 个 $a_i$ 后得到序列 $B$。例如， - $\{1,3,3,3,2,2,2\}$ 是 $\{1,3,3,2\}$ 的拓展，取 $L = \{1,1,2,3\}$ 或 $\{1,2,1,3\}$； - 而 $\{1,3,3,2\}$ 不是 $\{1,3,3,3,2\}$ 的拓展，$\{1,2,3\}$ 不是 $\{1,3,2\}$ 的拓展。 小 R 给了你两个序列 $X$ 和 $Y$，他希望你找到 $X$ 的一个长度为 $l_0 = 10^{100}$ 的拓展 $F = \{f_i\}$ 以及 $Y$ 的一个长度为 $l_0$ 的拓展 $G = \{g_i\}$，使得任意 $1 \le i , j \le l_0$ 都有 $(f_i - g_i)(f_j - g_j) > 0$。由于序列太长，你只需要告诉小 R 是否存在这样的两个序列即可。 为了避免你扔硬币蒙混过关，小 R 还给了 $q$ 次额外询问，每次额外询问中小 R 会修改 $X$ 和 $Y$ 中若干元素的值。你需要对每次得到的新的 $X$ 和 $Y$ 都进行上述的判断。 **询问之间是独立的，每次询问中涉及的修改均在原始序列上完成。**

无

无

**【样例解释 #1】** 由于 $F$ 和 $G$ 太长，用省略号表示重复最后一个元素直到序列长度为 $l_0$。如 $\{1,2,3,3,\cdots\}$ 表示序列从第三个元素之后都是 $3$。 以下依次描述四次询问，其中第一次询问为初始询问，之后的三次为额外询问： 1. $A = \{8,6,9\}$，$B = \{1,7,4\}$，取 $F = \{8,8,6,9,\cdots\}, G = \{1,7,4,4,\cdots\}$； 2. $A = \{8,6,0\}$，$B = \{1,7,4\}$，可以证明不存在满足要求的方案； 3. $A = \{8,6,9\}$，$B = \{8,7,5\}$，可以证明不存在满足要求的方案； 4. $A = \{8,8,9\}$，$B = \{7,7,4\}$，取 $F = \{8,8,9,\cdots\}, G = \{7,7,4,\cdots\}$。 **【样例解释 #2】** 该组样例满足测试点 $4$ 的条件。 **【样例解释 #3】** 该组样例满足测试点 $7$ 的条件。 **【样例解释 #4】** 该组样例满足测试点 $9$ 的条件。 **【样例解释 #5】** 该组样例满足测试点 $18$ 的条件。 **【数据范围】** 对于所有测试数据，保证： - $1 \le n, m \le 5 \times 10 ^ 5$； - $0 \le q \le 60$； - $0 \le x_i, y_i < 10 ^ 9$； - $0 \le k_x, k_y \le 5 \times 10 ^ 5$，且所有额外询问的 $(k_x+k_y)$ 的和不超过 $5 \times 10 ^ 5$； - $1 \le p_x \le n$，$1 \le p_y \le m$，$0 \le v_x, v_y < 10 ^ 9$； - 对于每组额外询问，$p_x$ 两两不同，$p_y$ 两两不同。 |测试点编号|$n, m \le$|特殊性质| |:-:|:-:|:-:| |$1$|$1$|否| |$2$|$2$|否| |$3, 4$|$6$|否| |$5$|$200$|否| |$6, 7$|$2000$|否| |$8, 9$|$4 \times 10 ^ 4$|是| |$10, 11$|$1.5 \times 10 ^ 5$|是| |$12 \sim 14$|$5 \times 10 ^ 5$|是| |$15, 16$|$4 \times 10 ^ 4$|否| |$17, 18$|$1.5 \times 10 ^ 5$|否| |$19, 20$|$5 \times 10 ^ 5$|否| 特殊性质：对于每组询问（包括初始询问和额外询问），保证 $x_1 < y_1$，且 $x_n$ 是序列 $X$ 唯一的一个最小值，$y_m$ 是序列 $Y$ 唯一的一个最大值。