「RiOI-03」A Journey to the Moonlight

 （图片来自 phigros 曲绘，侵删。） [加强版链接](/problem/P10286) KDOI 的业务发展到月亮上了。但是月亮上网速很慢，他们需要解决网速问题。 KDOI 的工作人员研发了一种新型无线局域网模块 Wife（WIreless Fidelity Extend），每个模块最多连接两个用户，并且可以选择为其中一位客户提供 $1$ 单位带宽。不过，无论有多少个模块同时为一位客户提供带宽，他的总带宽永远是 $1$。 公司的员工都很懒，经常 ppt 一鸽就是一个月。因此，他们也懒得为 Wife 贴上标签，也就是所有模块间不做区分。另外，为了节省电费，不能有两个模块的工作客户范围完全相同。 现在有 $n$ 个用户购买了服务。当 Wife 系统正式启动时，鹿由器发现了一个问题：可能有些用户没有宽带可以使用！快斗现在手里没有 Wife，只能抢来一个，牺牲一个用户的利益，按一定顺序给所有包括有宽带的用户使用。然而，没有宽带的用户们要求很苛刻，只要没有给他们按注册顺序连续地提供宽带，他们就会威胁鹿由器退钱。 快斗已经忘了他们的注册时间了，只能随机选一个 $1\sim n$ 的排列来决定提供宽带的顺序。为了让尝试的次数尽量小，他会调整 Wife 连接的用户。他想知道，要让这些顾客平息愤怒，需要尝试的最小期望次数是多少。 特别的，Wife 有两种型号。型号 $1$ 可以选择只连接一位，型号 $2$ 则只能连接两个不同客户。你需要分别计算出这两种型号的答案。 快斗自己肯定~~不~~会做，所以他要让你求出所有 $i\in[0,n]$ 的结果 $ans_i$。考虑到你如果一个一个汇报会累死的，仁慈的鹿由器会给你数组 $a$，让你输出 $\sum a_i\times ans_i$。

#### 【形式化题意】 对于一个右部点为 $m$ 个的二分图 $G$，定义它的权值 $w(G)$ 如下： - 选择一种匹配方案，标记第一个已匹配的右部点。如果不存在这样的点，那么标记第一个未匹配的右部点。 - 每次随机选择一个 $1,2,\cdots,m$ 的排列，当未匹配的右部点与被标记的点 **按标号顺序作为一个子段出现在排列中时** 停止操作。 - $w(G)$ 为在所有匹配方案中操作次数期望的 **最小值**。 将这个二分图 $G$ 定义为 **$k$ 合法** 的，当且仅当： - 所有左部点的度数在 $k\sim 2$ 之间。 - 没有任意两个左部点，与其相邻的点组成的集合相同。 定义 $f(k,x)$ 为所有右部点 $x$ 个，左部点不进行区分的 $k$ 合法二分图 $G$ 的 $w(G)$ 之和。 给定 $n,k,a_{0\sim n}$，求 $\sum\limits^n_ia_if(k,i) \bmod998244353$。

一行两个正整数，分别表示 $n$ 与 Wife 的型号 $k$。 第二行 $n+1$ 个非负整数，分别表示 $a_{0\sim n}$。

一行一个非负整数，表示答案。

2 1
1 1 1

15

3 2
1 1 1 1

40

12 1
1 1 4 5 1 4 1 9 1 9 8 1 0

721168027

约定一个左部点连接了编号为 $x,y$ 的右部点表示为 $(x,y)$。 #### 【样例 1 解释】 对于 $n=0,1$，答案显然为 $1,2$。 对于 $n=2$，可能的二分图为（用每个左部点的邻接点组成的元组表示）： $()$ $(1),(2),(1,2)$ $\{(1),(2)\},\{(1,2),(2)\},\{(1,2),(1)\},\{(1,2),(1),(2)\}$ 期望相同的二分图被分为一组。答案为 $\dfrac21+\dfrac21\times3+\dfrac22\times4=12$，输出 $1\times1+1\times2+1\times12=15$。 #### 【样例 2 解释】 对于 $n=0,1,2$，答案为 $1,1,4$。 对于 $n=3$，可能的二分图为（用每个左部点的邻接点组成的元组表示）： $()$ $(1,2),(1,3),(2,3)$ $\{(1,2),(1,3)\},\{(1,2),(2,3)\},\{(1,3),(2,3)\}$ $\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$ 答案为 $\dfrac61+\dfrac61\times3+\dfrac62\times3+\dfrac66=34$。 #### 【数据范围】 对于 $100\%$ 的数据，$0\le n\le1.5\times10^4$，$1\le k\le2$，$0\le a_i<998244353$。 **本题开启捆绑测试** |$\text{Subtask}$|$\text{Score}$|$n\le $|$k\ge$|特殊性质| |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| |$0$|$5$|$5$|$1$|| |$1$|$10$|$500$|$2$|| |$2$|$20$|$500$|$1$|$a_i\equiv\dfrac1{i!}$| |$3$|$20$|$1.5\times10^4$|$2$|$a_i\equiv\dfrac1{i!}$| |$4$|$45$|$1.5\times10^4$|$1$||