U140600 反正切命题

$Seaway$对之前的$NOIP2020$模拟赛进行了细致而认真的反思。作为出题人，他觉得自己的题目非常容易让选手现场切题。为此，他进行了认真的研究，最终确定了新的命题方向：反正切命题。 为了更好地掌握反正切命题，$Seaway$决定先去研究一种函数：反正切函数。

在数学的海洋里，$Seaway$了解到： 反正切函数不止可像高中数学课本那样计算。与一般的离散型函数相同，反正切函数也可展开成**无穷级数**，有如下公式： $$ \arctan(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1) ^ n x ^ {2n + 1}}{2n + 1} ( 0 \le x \le 1 )\tag{1} $$ 这样，反正切函数的计算就可以方便地被表示：例如，最简单的计算的方法： $$ \begin{aligned} \pi & = 4 \arctan(1) \\ & = 4(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \dots) \end{aligned} \tag{2} $$ 然而，可以看出，这种方法的效率很低，于是我们可以采用高中数学所学习的三角形和差角公式对其计算过程进行优化： $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)} \tag{3} $$ 通过简单的变换得到： $$ \arctan(p) + \arctan(q) = \arctan(\frac{p + q}{1 - p q}) \tag{4} $$ 利用这个公式，令$p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{3}$，则$\frac{p + q}{1 - p q} = 1 $，有： $$ \arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}) = \arctan(1) $$ 这样，我们就快速地计算出了$1$的反正切函数。 我们将公式$4 $写成如下形式： $$ \arctan(\frac{1}{a}) = \arctan(\frac{1}{b}) + \arctan(\frac{1}{c}) $$ 其中$a, b, c \in \mathbb{N^+}$。 我们的问题是：对于每一个给定的 $a$，求$b + c$ 的值。我们保证对于任意的$a$都存在整数解。如果有多个解，要求你给出$b + c$最小的解。

无

无

【**数据范围**】 对于$20\%$的数据，$a\le 5$。 对于另$20\%$的数据，$a\le 100$。 对于另$20\%$的数据，$a\le 3000$。 对于全部数据，$1\le a\le 6\times 10^4$。