模形式（二）

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弱模函数 & 模形式

对于同余子群 \Gamma，f:\mathbb H\mapsto\mathbb C，若 \forall\gamma\in\Gamma,f[\gamma]_k=f 且 f 是 \mathbb H 上的亚纯函数，则称 f 是 \Gamma 的一个权为 k 的弱模函数。

亚纯：在区域上除去极点外处处解析。

若 f 是 \Gamma 的一个权为 k 的弱模函数，且 f 在 \mathbb H 和无穷远点解析，则称 f 是 \Gamma 的一个权为 k 的模形式。若 f 还满足在 \infty 处的取值为 0，则称 f 为尖点形式。

由 \begin{bmatrix}1&N\\0&1\end{bmatrix}\in P(N) 可得 f\left[\begin{bmatrix}1&N\\0&1\end{bmatrix}\right]_k=f，根据定义展开，可以得到 f(x+N)=f(x)，故弱模函数是周期函数，且具有整数周期。取其最小正整周期 T，记 z=\text{e}^{\frac{2\pi\text{i}x}{T}}，定义函数 g(z)=f(x)，由于 x\in\mathbb H，即 \text{Im}(x)>0，容易推出 |z|\in(0,1)，且 \lim\limits_{\text{Im}(x)\rightarrow+\infty}z=0，那么 g(z) 在去心单位圆盘上解析。

考虑 g(z) 在 z=0 处的 Laurent 展开：

g(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_nz^n=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n\text{e}^{\frac{2\pi\text{i}n}{T}}

而 z\rightarrow0 时 x\rightarrow\infty，故上式为 f(x) 在无穷远处的 Fourier 展开。

要让 f 在无穷远处解析，即 g 在 0 处解析，根据 Laurent 级数的性质，即函数在可去奇点处的留数为 0，那么 \forall n<0,a_n=0，特别地，f(\infty)=a_0，故 f 为尖点形式的条件为 a_0=0。

考察 k=0 的弱模函数，即 f(x)=f(\gamma(x))，那么 f 对所有 \Gamma 中的元素都具有完全的不变性。

考察 k=2 的弱模函数，即 (f[\gamma]_2)(x)=\dfrac{f(\gamma(x))}{j^2(\gamma,x)}，由上一章的性质 3，可以得到 f(\gamma(x))\text{d}\gamma(x)=f(x)\text{d}x，即其具有微分形式不变性。

容易验证：若 f,g 为 \Gamma 上权为 k 的模形式，C\in\mathbb C，则 f+g、Cf 也为 \Gamma 上权为 k 的模形式。因此 \Gamma 上权为 k 的模形式构成一个复向量空间，记作 \mathcal M_k(\Gamma)。还能证明，若 f_1 是 \Gamma 上权为 k_1 的模形式，f_2 是 \Gamma 上权为 k_2 的模形式，则 f_1f_2 是 \Gamma 上权为 k_1+k_2 的模形式。

事实上，在无穷远点解析的情况下，\dim(\mathcal M_k(\Gamma)) 一定是有限的。

考察 \mathcal M_k(\text{SL}_2(\mathbb Z)) 的性质。当 k 为奇数时，由于 -I\in\text{SL}_2(\mathbb Z)，有 f(x)=(-1)^kf(x)=-f(x)，故 f(x)=0，这是平凡的模形式。

又由于对于模形式 f\in\mathcal M_2(\Gamma)，有 f^k\in\mathcal M_{2k}(\Gamma)，故研究的重点在于权为 2 的模形式。

发现了吗？模形式和 P2019 中提到的 \theta 函数有着千丝万缕的联系。定义模形式集合的乘法：\mathcal M_k(\Gamma)\times\mathcal M_l(\Gamma)=\{fg\mid f\in M_k(\Gamma),g\in M_l(\Gamma)\}=\mathcal M_{k+l}(\Gamma)，与 \theta 函数的乘法 \theta_k(x)\theta_l(x)=\theta_{k+l}(x) 十分相似。事实上，\theta 正是某一同余子群的模形式，而寻找该模形式的一组基是一个有意义的课题，这在后面也许会说到。