如何优雅地尺规做正五角星
Carey_chen
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算法·理论
这是一篇关于如何优雅地完成劳技作业尺规作正五角星的文章。
背景
劳技课作业要求做一个木工的正五角星。
先规约一下问题：如果能够尺规作正五边形，那么可以将正五边形的顶点两两相连后得到正五角星。
因此只要讨论如何作正五边形即可。
结论
若正五边形的外接圆半径为 r ，则这个正五边形的边长的长度等于直角边分别为 r 和 \frac{\sqrt 5 -1}{2}r 的直角三角形的斜边边长。
需要用到的符号与定理
勾股定理
在 Rt\triangle MNO 中，有：
### 三角函数间的关系
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ 。
证明：
在 $Rt\triangle MNO$ 中，有：
\begin{split}
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \
&= \frac{a^2 + b^2}{c^2} \
&= \frac{c^2}{c^2} \
&= 1 \
\end{split}
### 余弦定理
其实是勾股定理的扩展。
在**任意三角形**中有：
$$a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2
五边形的证明
在一个正五边形的外接圆中，圆心角（以圆心为顶点的的角）\alpha = 72° ，设其半径为 r 。
$∴$ $AP$ 为 $∠\alpha$ 的角平分线，且 $AP$ 垂直平分 $LK$ 。
$∴
LK &= 2LP \\
&= 2 LA \sin (\frac{\alpha}{2}) \\
&= 2 LA \sin (36°) \\
&= 2r \sin (36°) \\
\end{split}
因此求出 \sin (36°) 即可。
新图：
在一个含有 36° 的等腰三角形中，做 ∠BAC 的角平分线，可证明 AC=AD=DB 且 \triangle ADC \sim \triangle BAC。
因此有：
\begin{split}
\frac{AB}{AD} &= \frac{AC}{DC} \\
\frac{AB}{AC} &= \frac{AC}{AB-AC} \\
AB^2 - AB \cdot AC -AC^2 &= 0\\
\end{split}
利用二次方程求根公式得：
AB = \frac{\sqrt 5+1}{2} AC
根据余弦定理：
\begin{split}
AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC\cdot\cos 36° \\
AC^2 &= 2AB^2(1 - \cos 36°)
\end{split}
把：AB = \frac{\sqrt 5+1}{2} AC 带入：
\begin{split}
AC^2 &= 2AB^2(1 - \cos 36°) \\
AC^2 &= 2(\frac{\sqrt 5+1}{2} AC)^2(1 - \cos 36°) \\
AC^2 &= AC^2(\sqrt 5+3)(1 - \cos 36°) \\
(\sqrt 5+3)(1 - \cos 36°) &= 1 \\
1 - \cos 36° &= \frac{3 - \sqrt 5}{4} \\
\cos 36° &= \frac{\sqrt 5 + 1}{4}
\end{split}
又因为：
\sin^2 36° + \cos^2 36° = 1
所以：
\sin 36° = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
回到这张图：
LK &= 2r \sin (36°) \\
&= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}r}{2} \\
\end{split}
$∴$ 结论得证。
## 怎么画
在平面直角坐标系中，$A$ 与原点重合，先在 $x$ 轴的正半轴任取一点 $B$，以 $A$ 点为圆心，画一个以 $AB$ 为半径的圆，作 $AB$ 的垂直平分线，交 $AB$ 于 $D$。
令 $C$ 点为 $y$ 轴的正半轴与圆的交点，连接 $CD$。
此时 $CD = \sqrt 5 AB$ 。
再以 $D$ 点为圆心，画一个以 $CD$ 为半径的圆，交 $y$ 轴的负半轴于点 $E$，连接 $CE$ 。
此时 $AE = \frac{\sqrt 5-1}{2} AB$，根据前面的证明，$CE$ 即为这个正五边形的边长。
以 $CE$ 为半径在作五条弧即可得到正五边形的五个顶点，将正五边形的顶点两两相连后即可得到正五角星，成品：
其中蓝色多边形为正五边形，红色多边形为正五角星。
至此，我们成功地尺规出作正五角星。